Упр.38.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) уравнение х^2 — рх + р — 2 = 0 имеет только один корень;
б) уравнение х^2 — 4рх + р — 6 = 0 не имеет решений.
Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулу корней:
а) x^2 + 3x + 2 = 0; г) x^2 + 8x + 7 = 0;
б) x^2 — 15x + 14 = 0; д) x^2 — 19x + 18 = 0;
в) x^2 + 3x — 4 = 0; е) x^2 — 9x — 10 = 0.
Рассмотрим уравнение $$x^2-px+p-2=0.$$
Чтобы оно имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=(-p)^2-4(p-2)=p^2-4p+8.$$
Проверим, может ли быть $$D=0$$:
$$p^2-4p+8=0,$$
$$D_p=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0.$$
Значит, уравнение $$p^2-4p+8=0$$ не имеет действительных решений, то есть не существует такого значения $$p$$, при котором исходное уравнение имеет только один корень.
Рассмотрим уравнение $$x^2-4px+p-6=0.$$
Оно не имеет решений, если его дискриминант отрицателен:
$$D=(-4p)^2-4(p-6)=16p^2-4p+24.$$
Проверим, может ли быть $$D<0$$:
$$16p^2-4p+24=0,$$
$$4p^2-p+6=0.$$
Для этого квадратного уравнения по параметру дискриминант равен
$$D_p=(-1)^2-4\cdot 4\cdot 6=1-96=-95<0.$$
Следовательно, выражение $$16p^2-4p+24$$ всегда положительно, а значит, $$D<0$$ быть не может. Поэтому не существует такого значения $$p$$, при котором данное уравнение не имеет решений.
Найдём корни уравнений, не используя формулу корней.
а) $$x^2+3x+2=0$$
$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)=0,$$
$$x=-1,\; x=-2.$$
б) $$x^2-15x+14=0$$
$$x^2-15x+14=(x-1)(x-14)=0,$$
$$x=1,\; x=14.$$
в) $$x^2+3x-4=0$$
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)=0,$$
$$x=-4,\; x=1.$$
г) $$x^2+8x+7=0$$
$$x^2+8x+7=(x+1)(x+7)=0,$$
$$x=-1,\; x=-7.$$
д) $$x^2-19x+18=0$$
$$x^2-19x+18=(x-1)(x-18)=0,$$
$$x=1,\; x=18.$$
е) $$x^2-9x-10=0$$
$$x^2-9x-10=(x-10)(x+1)=0,$$
$$x=10,\; x=-1.$$
Ответ
1) Не существует такого значения $$p$$ ни в пункте а), ни в пункте б).
2) а) $$x=-2,\,-1$$; б) $$x=1,\;14$$; в) $$x=-4,\;1$$; г) $$x=-7,\,-1$$; д) $$x=1,\;18$$; е) $$x=-1,\;10$$.
