Упр.38.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Решите уравнение с параметром $$p$$:
а) $$x^2 — 2(p — 2)x + p^2 — 4p — 5 = 0$$;
б) $$x^2 + 2(p + 3)x + p^2 + 6p + 5 = 0$$;
в) $$(p + 2)x^2 + (2p + 2)x + p = 0$$;
г) $$x^2 — 2(p + 2)x + p^2 + 4p — 12 = 0$$;
д) $$x^2 + 2(p — 3)x + p^2 — 6p + 8 = 0$$;
е) $$px^2 + (2p — 2)x + p — 2 = 0$$. - Для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$, корни которого $$x_1$$ и $$x_2$$, найдите:
а) $$b$$ и $$c$$, если $$a = 2$$, $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -0{,}5$$;
б) $$a$$ и $$c$$, если $$b = -1$$, $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -4$$;
в) $$a$$ и $$b$$, если $$c = 4$$, $$x_1 = -2$$, $$x_2 = -0{,}25$$;
г) $$b$$ и $$c$$, если $$a = 0{,}5$$, $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -1{,}5$$;
д) $$a$$ и $$c$$, если $$b = 6$$, $$x_1 = 3$$, $$x_2 = -4$$;
е) $$a$$ и $$b$$, если $$c = 8$$, $$x_1 = 4$$, $$x_2 = 2$$.
а) $$x^2-2(p-2)x+p^2-4p-5=0$$
$$D=[-2(p-2)]^2-4(p^2-4p-5)=4(p-2)^2-4p^2+16p+20=36$$
$$x_{1,2}=\frac{2(p-2)\pm 6}{2}$$
$$x_1=p-5,\quad x_2=p+1$$
б) $$x^2+2(p+3)x+p^2+6p+5=0$$
$$D=[2(p+3)]^2-4(p^2+6p+5)=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2(p+3)\pm 4}{2}$$
$$x_1=-p-5,\quad x_2=-p-1$$
в) $$(p+2)x^2+(2p+2)x+p=0$$
Если $$p=-2$$, то уравнение принимает вид $$-2x-2=0$$, откуда $$x=-1$$.
Если $$p\ne -2$$, то
$$D=(2p+2)^2-4(p+2)p=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-(2p+2)\pm 2}{2(p+2)}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=-\frac{p}{p+2}$$
г) $$x^2-2(p+2)x+p^2+4p-12=0$$
$$D=[-2(p+2)]^2-4(p^2+4p-12)=64$$
$$x_{1,2}=\frac{2(p+2)\pm 8}{2}$$
$$x_1=p-2,\quad x_2=p+6$$
д) $$x^2+2(p-3)x+p^2-6p+8=0$$
$$D=[2(p-3)]^2-4(p^2-6p+8)=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-2(p-3)\pm 2}{2}$$
$$x_1=2-p,\quad x_2=4-p$$
е) $$px^2+(2p-2)x+p-2=0$$
Если $$p=0$$, то $$-2x-2=0$$, откуда $$x=-1$$.
Если $$p\ne 0$$, то
$$D=(2p-2)^2-4p(p-2)=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-(2p-2)\pm 2}{2p}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{2-p}{p}$$
Для уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ используем формулы Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
а) $$a=2,\ x_1=3,\ x_2=-0{,}5$$
$$3+(-0{,}5)=-\frac{b}{2}\Rightarrow 2{,}5=-\frac{b}{2}\Rightarrow b=-5$$
$$3\cdot(-0{,}5)=\frac{c}{2}\Rightarrow -1{,}5=\frac{c}{2}\Rightarrow c=-3$$
б) $$b=-1,\ x_1=3,\ x_2=-4$$
$$3+(-4)=-\frac{-1}{a}\Rightarrow -1=\frac{1}{a}\Rightarrow a=-1$$
$$3\cdot(-4)=\frac{c}{-1}\Rightarrow -12=-c\Rightarrow c=12$$
в) $$c=4,\ x_1=-2,\ x_2=-0{,}25$$
$$(-2)\cdot(-0{,}25)=\frac{4}{a}\Rightarrow 0{,}5=\frac{4}{a}\Rightarrow a=8$$
$$-2+(-0{,}25)=-\frac{b}{8}\Rightarrow -2{,}25=-\frac{b}{8}\Rightarrow b=18$$
г) $$a=0{,}5,\ x_1=2,\ x_2=-1{,}5$$
$$2+(-1{,}5)=-\frac{b}{0{,}5}\Rightarrow 0{,}5=-\frac{b}{0{,}5}\Rightarrow b=-0{,}25$$
$$2\cdot(-1{,}5)=\frac{c}{0{,}5}\Rightarrow -3=\frac{c}{0{,}5}\Rightarrow c=-1{,}5$$
д) $$b=6,\ x_1=3,\ x_2=-4$$
$$3+(-4)=-\frac{6}{a}\Rightarrow -1=-\frac{6}{a}\Rightarrow a=6$$
$$3\cdot(-4)=\frac{c}{6}\Rightarrow -12=\frac{c}{6}\Rightarrow c=-72$$
е) $$c=8,\ x_1=4,\ x_2=2$$
$$4\cdot 2=\frac{8}{a}\Rightarrow 8=\frac{8}{a}\Rightarrow a=1$$
$$4+2=-\frac{b}{1}\Rightarrow 6=-b\Rightarrow b=-6$$
Ответ
1) а) $$x=p-5,\ x=p+1$$; б) $$x=-p-5,\ x=-p-1$$; в) при $$p=-2$$ $$x=-1$$, при $$p\ne -2$$ $$x=-1,\ x=-\frac{p}{p+2}$$; г) $$x=p-2,\ x=p+6$$; д) $$x=2-p,\ x=4-p$$; е) при $$p=0$$ $$x=-1$$, при $$p\ne 0$$ $$x=-1,\ x=\frac{2-p}{p}$$.
2) а) $$b=-5,\ c=-3$$; б) $$a=-1,\ c=12$$; в) $$a=8,\ b=18$$; г) $$b=-0{,}25,\ c=-1{,}5$$; д) $$a=6,\ c=-72$$; е) $$a=1,\ b=-6$$.
