Упр.38.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Решите уравнение с параметром $$p$$:
а) $$x^2-(2p-2)x+p^2-2p=0$$;
б) $$x^2-\frac{(2p+3)x}{6}+\frac{p}{6}=0$$;
в) $$(2p-1)x^2-px+1-p=0$$;
г) $$x^2+\frac{(3p+2)x}{6}+\frac{p}{6}=0$$;
д) $$x^2-\frac{(3p+2)x}{6}+\frac{p}{6}=0$$;
е) $$px^2-(3p-1)x+2p-1=0$$.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа:
а) $$x_1=3\sqrt{5}$$; $$x_2=-3\sqrt{5}$$;
б) $$x_1=3+\sqrt{2}$$; $$x_2=3-\sqrt{2}$$;
в) $$x_1=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$$; $$x_2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$$;
г) $$x_1=\sqrt{2}$$; $$x_2=-\sqrt{2}$$;
д) $$x_1=1+\sqrt{5}$$; $$x_2=1-\sqrt{5}$$;
е) $$x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$; $$x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$.
а) $$x^2-(2p-2)x+p^2-2p=0$$
$$D=(2p-2)^2-4(p^2-2p)=4$$
$$x_{1,2}=\frac{2p-2\pm 2}{2}$$
$$x_1=p-2,\quad x_2=p$$
б) $$x^2-\frac{2p+3}{6}x+\frac{p}{6}=0$$
$$D=\left(\frac{2p+3}{6}\right)^2-\frac{4p}{6}=\frac{(2p-3)^2}{36}$$
$$x_{1,2}=\frac{\frac{2p+3}{6}\pm \frac{2p-3}{6}}{2}$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=\frac{p}{3}$$
в) $$(2p-1)x^2-px+1-p=0$$
Если $$2p-1=0,$$ то $$p=\frac12$$ и уравнение принимает вид
$$-\frac12 x+\frac12=0,\quad x=1.$$
Если $$p\ne \frac12,$$ то
$$D=p^2-4(2p-1)(1-p)=(3p-2)^2$$
$$x_{1,2}=\frac{p\pm (3p-2)}{2(2p-1)}$$
$$x_1=\frac{1-p}{2p-1},\quad x_2=1$$
г) $$x^2+\frac{3p+2}{6}x+\frac{p}{6}=0$$
$$6x^2+(3p+2)x+p=0$$
$$D=(3p+2)^2-24p=(3p-2)^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-(3p+2)\pm (3p-2)}{12}$$
$$x_1=-\frac{p}{2},\quad x_2=-\frac13$$
д) $$x^2-\frac{3p+2}{6}x+\frac{p}{6}=0$$
$$6x^2-(3p+2)x+p=0$$
$$D=(3p+2)^2-24p=(3p-2)^2$$
$$x_{1,2}=\frac{(3p+2)\pm (3p-2)}{12}$$
$$x_1=\frac13,\quad x_2=\frac{p}{2}$$
е) $$px^2-(3p-1)x+2p-1=0$$
Если $$p=0,$$ то
$$x-1=0,\quad x=1.$$
Если $$p\ne 0,$$ то
$$D=(3p-1)^2-4p(2p-1)=(p-1)^2$$
$$x_{1,2}=\frac{(3p-1)\pm (p-1)}{2p}$$
$$x_1=1,\quad x_2=\frac{2p-1}{p}$$
а) $$x_1=3\sqrt5,\quad x_2=-3\sqrt5$$
$$x_1+x_2=0,\quad x_1x_2=-45$$
$$x^2-45=0$$
б) $$x_1=3+\sqrt2,\quad x_2=3-\sqrt2$$
$$x_1+x_2=6,\quad x_1x_2=7$$
$$x^2-6x+7=0$$
в) $$x_1=\frac{3-\sqrt3}{2},\quad x_2=\frac{3+\sqrt3}{2}$$
$$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=\frac32$$
$$x^2-3x+\frac32=0$$
$$2x^2-6x+3=0$$
г) $$x_1=\sqrt2,\quad x_2=-\sqrt2$$
$$x_1+x_2=0,\quad x_1x_2=-2$$
$$x^2-2=0$$
д) $$x_1=1+\sqrt5,\quad x_2=1-\sqrt5$$
$$x_1+x_2=2,\quad x_1x_2=-4$$
$$x^2-2x-4=0$$
е) $$x_1=\frac{1+\sqrt2}{2},\quad x_2=\frac{1-\sqrt2}{2}$$
$$x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-\frac14$$
$$x^2-x-\frac14=0$$
$$4x^2-4x-1=0$$
Ответ
1) а) $$x=p-2,\ x=p$$; б) $$x=\frac12,\ x=\frac{p}{3}$$; в) при $$p=\frac12$$ $$x=1$$, при $$p\ne \frac12$$ $$x=\frac{1-p}{2p-1},\ x=1$$; г) $$x=-\frac{p}{2},\ x=-\frac13$$; д) $$x=\frac13,\ x=\frac{p}{2}$$; е) при $$p=0$$ $$x=1$$, при $$p\ne 0$$ $$x=1,\ x=\frac{2p-1}{p}$$.
2) а) $$x^2-45=0$$; б) $$x^2-6x+7=0$$; в) $$2x^2-6x+3=0$$; г) $$x^2-2=0$$; д) $$x^2-2x-4=0$$; е) $$4x^2-4x-1=0$$.
