Упр.38.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) х^2 + (р^2 — 1)х + 2р — 6 = 0;
б) 6х^2 + (р — 1)х + 2 — 4р = 0;
в) (р — 2)х^2 + 3x + р = 0;
г) 3х^2 — (2р + 3)x + 2 + р = 0;
д) x^2 + (р^2 — 4)x + р^2 — 2р — 8 = 0;
е) (6 — р)х^2 + (2р + б)(x + 3) = 0?
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются данные числа:
а) x_1 = 2,5; x_2 = -2; г) x_1 = -2,4; x_2 = -1,5;
б) x_1 = -2/3; x_2 = -3/4; д) x_1 = -2/7; x_2 = -7/8;
в) x_1 = 2 3/4; x_2 = 3 3/5; е) x_1 = 4 2/5; x_2 = 3 1/3.
Квадратное уравнение является неполным, если $$a \ne 0$$ и выполняется хотя бы одно из условий: $$b=0$$ или $$c=0$$.
а) $$x^2+(p^2-1)x+2p-6=0$$
Здесь $$a=1,\; b=p^2-1,\; c=2p-6.$$
Тогда:
$$p^2-1=0 \Rightarrow p=\pm 1,$$
$$2p-6=0 \Rightarrow p=3.$$При этих значениях уравнение неполное.
б) $$6x^2+(p-1)x+2-4p=0$$
Здесь $$a=6,\; b=p-1,\; c=2-4p.$$
Тогда:
$$p-1=0 \Rightarrow p=1,$$
$$2-4p=0 \Rightarrow p=\frac12.$$в) $$(p-2)x^2+3x+p=0$$
Здесь $$a=p-2,\; b=3,\; c=p.$$
Чтобы уравнение было неполным, нужно $$a=0$$ или $$c=0$$. Так как $$b=3 \ne 0$$, получаем:
$$p-2=0 \Rightarrow p=2,$$
$$p=0.$$Но при $$p=2$$ уравнение перестаёт быть квадратным, поэтому подходит только $$p=0$$.
г) $$3x^2-(2p+3)x+2+p=0$$
Здесь $$a=3,\; b=-(2p+3),\; c=2+p.$$
Тогда:
$$-(2p+3)=0 \Rightarrow 2p+3=0 \Rightarrow p=-\frac32,$$
$$2+p=0 \Rightarrow p=-2.$$д) $$x^2+(p^2-4)x+p^2-2p-8=0$$
Здесь $$a=1,\; b=p^2-4,\; c=p^2-2p-8.$$
Тогда:
$$p^2-4=0 \Rightarrow p=\pm 2,$$
$$p^2-2p-8=0 \Rightarrow (p-4)(p+2)=0 \Rightarrow p=4 \text{ или } p=-2.$$Следовательно, подходят $$p=-2,\; 2,\; 4.$$
е) $$(6-p)x^2+(2p+6)(x+3)=0$$
Раскроем скобки:
$$(6-p)x^2+(2p+6)x+6p+18=0.$$
Здесь $$a=6-p,\; b=2p+6,\; c=6p+18.$$
Тогда:
$$6-p=0 \Rightarrow p=6,$$
$$2p+6=0 \Rightarrow p=-3,$$
$$6p+18=0 \Rightarrow p=-3.$$Подходит $$p=-3$$.
Составим квадратные уравнения по данным корням, используя формулу $$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$
а) $$x_1=2{,}5,\; x_2=-2$$
$$x_1+x_2=0{,}5,\quad x_1x_2=-5.$$
$$x^2-0{,}5x-5=0.$$
Умножим на 2:
$$2x^2-x-10=0.$$
б) $$x_1=-\frac23,\; x_2=-\frac34$$
$$x_1+x_2=-\frac{17}{12},\quad x_1x_2=\frac12.$$
$$x^2+\frac{17}{12}x+\frac12=0.$$
Умножим на 12:
$$12x^2+17x+6=0.$$
в) $$x_1=2\frac34,\; x_2=3\frac35$$
$$x_1=\frac{11}{4},\quad x_2=\frac{18}{5}.$$
$$x_1+x_2=\frac{127}{20},\quad x_1x_2=\frac{99}{10}.$$
$$x^2-\frac{127}{20}x+\frac{99}{10}=0.$$
Умножим на 20:
$$20x^2-127x+198=0.$$
г) $$x_1=-2{,}4,\; x_2=-1{,}5$$
$$x_1+x_2=-3{,}9,\quad x_1x_2=3{,}6.$$
$$x^2+3{,}9x+3{,}6=0.$$
Умножим на 10:
$$10x^2+39x+36=0.$$
д) $$x_1=-\frac27,\; x_2=-\frac78$$
$$x_1+x_2=-\frac{65}{56},\quad x_1x_2=\frac14.$$
$$x^2+\frac{65}{56}x+\frac14=0.$$
Умножим на 56:
$$56x^2+65x+14=0.$$
е) $$x_1=4\frac25,\; x_2=3\frac13$$
$$x_1=\frac{22}{5},\quad x_2=\frac{10}{3}.$$
$$x_1+x_2=\frac{116}{15},\quad x_1x_2=\frac{44}{3}.$$
$$x^2-\frac{116}{15}x+\frac{44}{3}=0.$$
Умножим на 15:
$$15x^2-116x+220=0.$$
Ответ
1) а) $$p=\pm1,\; 3$$; б) $$p=1,\; \frac12$$; в) $$p=0$$; г) $$p=-\frac32,\; -2$$; д) $$p=-2,\; 2,\; 4$$; е) $$p=-3$$.
2) а) $$2x^2-x-10=0$$; б) $$12x^2+17x+6=0$$; в) $$20x^2-127x+198=0$$; г) $$10x^2+39x+36=0$$; д) $$56x^2+65x+14=0$$; е) $$15x^2-116x+220=0$$.
