Упр.38.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (a/(a — 6) — 2a/(a^2 — 12a + 36)) · (a^2 — 36)/(8 — a) — 12a/(6 — a);
б) 24a/(a — 4) + (3a/(a — 4) — 6a/(a^2 — 8a + 16)) : (6 — a)/(a^2 — 16).

Подробный ответ

а)

$$ \left(\frac{a}{a-6}-\frac{2a}{a^2-12a+36}\right)\cdot \frac{a^2-36}{8-a}-\frac{12a}{6-a} $$

Так как $$a^2-12a+36=(a-6)^2,$$ а $$a^2-36=(a-6)(a+6),$$ получаем:

$$ \frac{a}{a-6}-\frac{2a}{(a-6)^2} =\frac{a(a-6)-2a}{(a-6)^2} =\frac{a^2-8a}{(a-6)^2}. $$

Тогда
$$ \frac{a^2-8a}{(a-6)^2}\cdot \frac{(a-6)(a+6)}{8-a} =\frac{a(a-8)(a-6)(a+6)}{(a-6)^2(8-a)}. $$
Так как $$8-a=-(a-8),$$ сокращаем и получаем
$$ -\frac{a(a+6)}{a-6} =\frac{a^2+6a}{6-a}. $$

Теперь
$$ \frac{a^2+6a}{6-a}-\frac{12a}{6-a} =\frac{a^2-6a}{6-a} =\frac{a(a-6)}{6-a} =-a. $$

б)

$$ \frac{24a}{a-4}+\left(\frac{3a}{a-4}-\frac{6a}{a^2-8a+16}\right):\frac{6-a}{a^2-16} $$

Так как $$a^2-8a+16=(a-4)^2,$$ а $$a^2-16=(a-4)(a+4),$$ имеем:

$$ \frac{3a}{a-4}-\frac{6a}{(a-4)^2} =\frac{3a(a-4)-6a}{(a-4)^2} =\frac{3a^2-18a}{(a-4)^2}. $$

Делим на дробь:
$$ \frac{3a^2-18a}{(a-4)^2}:\frac{6-a}{a^2-16} = \frac{3a(a-6)}{(a-4)^2}\cdot \frac{(a-4)(a+4)}{6-a}. $$
Так как $$a-6=-(6-a),$$ получаем
$$ -\frac{3a(a+4)}{a-4}. $$

Тогда всё выражение равно
$$ \frac{24a}{a-4}-\frac{3a(a+4)}{a-4} =\frac{24a-3a^2-12a}{a-4} =\frac{12a-3a^2}{a-4} =\frac{3a(4-a)}{a-4} =-3a. $$