Упр.38.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=-|x+4|+3$$ на промежутке: а) $$[-5; 3]$$; б) $$(-5; -1]$$; в) $$[-3; 3]$$; г) $$[-6; 2]$$; д) $$[-7; -3)$$; е) $$(-6; -4)$$.
- а) При каких значениях параметра $$p$$ сумма корней квадратного уравнения $$x^2+(p^2+4p-5)x-p=0$$ равна нулю? б) При каких значениях параметра $$p$$ произведение корней квадратного уравнения $$x^2+3x+(p^2-7p+6)=0$$ равно нулю?
Функция $$y=-|x+4|+3$$ — это график модуля, отражённый вниз и сдвинутый на 4 единицы влево и на 3 единицы вверх. Вершина параболы-модуля: $$(-4;\,3)$$. Поэтому функция возрастает на $$(-\infty;\,-4]$$ и убывает на $$[-4;\,+\infty)$$.
а) $$[-5;3]$$
Наибольшее значение достигается в вершине:
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение на правом конце промежутка:
$$y_{\min}=-|3+4|+3=-7+3=-4.$$
б) $$(-5;-1]$$
Наибольшее значение:
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение на правом конце:
$$y_{\min}=-|-1+4|+3=-3+3=0.$$
в) $$[-3;3]$$
Наибольшее значение:
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение на правом конце:
$$y_{\min}=-|3+4|+3=-7+3=-4.$$
г) $$[-6;2]$$
Наибольшее значение:
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение на правом конце:
$$y_{\min}=-|2+4|+3=-6+3=-3.$$
д) $$[-7;-3)$$
Точка $$x=-4$$ входит в промежуток, значит
$$y_{\max}=3.$$
Наименьшее значение достигается при $$x=-7$$:
$$y_{\min}=-|-7+4|+3=-3+3=0.$$
е) $$(-6;-4)$$
Точка $$x=-4$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшее и наименьшее значения не достигаются.
Теперь решим задания с параметром.
а) $$x^2+(p^2+4p-5)x-p=0$$
Сумма корней квадратного уравнения равна нулю, если коэффициент при $$x$$ равен нулю:
$$-(p^2+4p-5)=0,$$
$$p^2+4p-5=0.$$
Решим уравнение:
$$p^2+4p-5=0 \\ (p+5)(p-1)=0 \\ p=-5 \text{ или } p=1$$
б) $$x^2+3x+(p^2-7p+6)=0$$
Произведение корней равно нулю, если свободный член равен нулю:
$$p^2-7p+6=0.$$
Решим уравнение:
$$p^2-7p+6=0 \\ (p-1)(p-6)=0 \\ p=1 \text{ или } p=6$$
Ответ
а) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=-4$$; б) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=0$$; в) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=-4$$; г) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=-3$$; д) $$y_{\max}=3,\ y_{\min}=0$$; е) наибольшее и наименьшее значения не существуют.
2а) $$p=-5,\ 1$$; 2б) $$p=1,\ 6$$.
