Упр.38.1 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Выясните, при каких значениях параметра $$p$$ заданное уравнение имеет указанный корень:
а) $$x^2+px+24=0$$, $$x=6$$;
б) $$2x^2+px+68=0$$, $$x=17$$;
в) $$-\frac{1}{3}x^2+p+11=0$$, $$x=3$$;
г) $$x^2+px-35=0$$, $$x=7$$;
д) $$3x^2+px-54=0$$, $$x=9$$;
е) $$-\frac{3}{7}x^2+p-1=0$$, $$x=7$$. - Задание учебника 2019 года. Не решая уравнение, определите, имеет ли оно корни. Для уравнений, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:
а) $$x^2+3x-7=0$$;
г) $$x^2-17x+2=0$$;
б) $$4x^2+12x+9=0$$;
д) $$7x^2-13x+7=0$$;
в) $$3x^2+11x+12=0$$;
е) $$6x^2+14x+9=0$$.
Подставим указанный корень в уравнение и найдём параметр p.
а) $$x^2+px+24=0,\quad x=6$$
$$6^2+6p+24=0$$
$$36+6p+24=0$$
$$6p+60=0$$
$$p=-10$$
б) $$2x^2+px+68=0,\quad x=17$$
$$2\cdot 17^2+17p+68=0$$
$$2\cdot 289+17p+68=0$$
$$578+17p+68=0$$
$$17p+646=0$$
$$p=-38$$
в) $$-\frac13x^2+p+11=0,\quad x=3$$
$$-\frac13\cdot 3^2+p+11=0$$
$$-\frac13\cdot 9+p+11=0$$
$$-3+p+11=0$$
$$p+8=0$$
$$p=-8$$
г) $$x^2+px-35=0,\quad x=7$$
$$7^2+7p-35=0$$
$$49+7p-35=0$$
$$7p+14=0$$
$$p=-2$$
д) $$3x^2+px-54=0,\quad x=9$$
$$3\cdot 9^2+9p-54=0$$
$$3\cdot 81+9p-54=0$$
$$243+9p-54=0$$
$$9p+189=0$$
$$p=-21$$
е) $$-\frac37x^2+p-1=0,\quad x=7$$
$$-\frac37\cdot 7^2+p-1=0$$
$$-\frac37\cdot 49+p-1=0$$
$$-21+p-1=0$$
$$p-22=0$$
$$p=22$$
Для квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ дискриминант равен $$D=b^2-4ac$$.
а) $$x^2+3x-7=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-7)=9+28=37>0$$
Значит, уравнение имеет два корня.
$$x_1+x_2=-3,\quad x_1x_2=-7$$
б) $$4x^2+12x+9=0$$
$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$$
Значит, уравнение имеет один корень.
$$x_1+x_2=-\frac{12}{4}=-3,\quad x_1x_2=\frac94$$
в) $$3x^2+11x+12=0$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 12=121-144=-23<0$$
Корней нет.
г) $$x^2-17x+2=0$$
$$D=(-17)^2-4\cdot 1\cdot 2=289-8=281>0$$
Значит, уравнение имеет два корня.
$$x_1+x_2=17,\quad x_1x_2=2$$
д) $$7x^2-13x+7=0$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 7\cdot 7=169-196=-27<0$$
Корней нет.
е) $$6x^2+14x+9=0$$
$$D=14^2-4\cdot 6\cdot 9=196-216=-20<0$$
Корней нет.
Ответ
1) а) $$p=-10$$; б) $$p=-38$$; в) $$p=-8$$; г) $$p=-2$$; д) $$p=-21$$; е) $$p=22$$.
2) а) два корня, $$x_1+x_2=-3,\ x_1x_2=-7$$; б) один корень, $$x_1+x_2=-3,\ x_1x_2=\frac94$$; в) корней нет; г) два корня, $$x_1+x_2=17,\ x_1x_2=2$$; д) корней нет; е) корней нет.
