Упр.37.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
- Докажите тождество:
а) $$\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b(a-b)^2}{a^4-b^2}=\frac{1}{a+b}$$;
б) $$\frac{n(m+n)^2}{m^4-n^4}+\frac{m}{m^2+n^2}=\frac{1}{m-n}$$.
Задание учебника 2019 года
- а) После двух последовательных повышений зарплаты работника она возросла на $$32\%$$ по сравнению с первоначальной. Найдите первоначальный процент повышения зарплаты, если второе повышение по количеству процентов было в 2 раза большим, чем первое.
б) Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых на первый курс студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 до 2880 человек?
а) Докажем тождество:
$$\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b(a-b)^2}{a^4-b^4}=\frac{1}{a+b}.$$
Разложим разность квадратов:
$$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2).$$
Тогда левая часть равна
$$\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b(a-b)^2}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b(a-b)}{(a+b)(a^2+b^2)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+ab-ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{1}{a+b}.$$
Тождество доказано.
б) Докажем тождество:
$$\frac{n(m+n)^2}{m^4-n^4}+\frac{m}{m^2+n^2}=\frac{1}{m-n}.$$
Разложим знаменатель:
$$m^4-n^4=(m^2-n^2)(m^2+n^2)=(m-n)(m+n)(m^2+n^2).$$
Тогда
$$\frac{n(m+n)^2}{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)}+\frac{m}{m^2+n^2} = \frac{n(m+n)}{(m-n)(m^2+n^2)}+\frac{m(m-n)}{(m-n)(m^2+n^2)}.$$
Сложим дроби:
$$\frac{n(m+n)+m(m-n)}{(m-n)(m^2+n^2)} = \frac{mn+n^2+m^2-mn}{(m-n)(m^2+n^2)} = \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m^2+n^2)} = \frac{1}{m-n}.$$
Тождество доказано.
а) Пусть первоначальная зарплата равна $$a$$ руб., а первое повышение было на $$x\%$$, тогда второе — на $$2x\%$$.
После первого повышения зарплата стала
$$a\left(1+\frac{x}{100}\right).$$
После второго повышения:
$$a\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{2x}{100}\right)=1{,}32a.$$
Сократим на $$a$$:
$$\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{2x}{100}\right)=1{,}32.$$
$$1+\frac{3x}{100}+\frac{2x^2}{10000}=1{,}32$$
$$2x^2+300x-3200=0$$
$$x^2+150x-1600=0.$$
$$D=150^2+4\cdot1600=28900=170^2.$$
$$x=\frac{-150\pm170}{2}.$$
Подходит только положительный корень:
$$x=10.$$
Значит, первое повышение было на $$10\%$$.
б) Пусть ежегодно приём студентов увеличивался на $$x\%$$.
Тогда через год стало
$$2000\left(1+\frac{x}{100}\right),$$
а через два года:
$$2000\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=2880.$$
Разделим на $$2000$$:
$$\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=1{,}44.$$
$$1+\frac{x}{100}=1{,}2$$
или
$$1+\frac{x}{100}=-1{,}2,$$
но этот корень не подходит.
Следовательно,
$$\frac{x}{100}=0{,}2,\qquad x=20.$$
Значит, приём студентов увеличивался на $$20\%$$ ежегодно.
Ответ
а) $$10\%$$; б) $$20\%$$.
