Упр.37.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 195 км, выехали два автомобиля. Скорость первого была на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому первый автомобиль прибыл в пункт В на 24 мин раньше второго. С какой скоростью ехал второй автомобиль? а) Мастерская к определённому сроку должна была выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше плана и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?
б) Токарь должен обработать 120 деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей в час он должен был обрабатывать по плану?

1. а) Пусть обычно мотоциклист ехал со скоростью $$x$$ км/ч, тогда в этот раз он ехал со скоростью $$x+10$$ км/ч.

   Время в пути обычно: $$\frac{30}{x}$$ ч, в этот раз: $$\frac{30}{x+10}$$ ч.

   По условию он приехал на 6 мин раньше, то есть на $$\frac{1}{10}$$ ч раньше:

   $$ \frac{30}{x}-\frac{30}{x+10}=\frac{1}{10} $$

   $$ \frac{30(x+10)-30x}{x(x+10)}=\frac{1}{10} $$

   $$ \frac{300}{x(x+10)}=\frac{1}{10} $$

   $$ 3000=x(x+10) $$

   $$ x^2+10x-3000=0 $$

   $$ D=10^2-4\cdot 1\cdot(-3000)=12100,\quad \sqrt{D}=110 $$

   $$ x=\frac{-10\pm 110}{2} $$

   $$ x_1=-60,\quad x_2=50 $$

   Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=50$$ км/ч.

2. б) Пусть скорость второго автомобиля была $$x$$ км/ч, тогда скорость первого — $$x+10$$ км/ч.

   Время в пути: у второго $$\frac{195}{x}$$ ч, у первого $$\frac{195}{x+10}$$ ч.

   Первый приехал на 24 мин раньше, то есть на $$\frac{2}{5}$$ ч раньше:

   $$ \frac{195}{x}-\frac{195}{x+10}=\frac{2}{5} $$

   $$ \frac{195(x+10)-195x}{x(x+10)}=\frac{2}{5} $$

   $$ \frac{1950}{x(x+10)}=\frac{2}{5} $$

   $$ 9750=2x(x+10) $$

   $$ x^2+10x-4875=0 $$

   $$ D=10^2-4\cdot 1\cdot(-4875)=19600,\quad \sqrt{D}=140 $$

   $$ x=\frac{-10\pm 140}{2} $$

   $$ x_1=-75,\quad x_2=65 $$

   Подходит только положительное значение: $$x=65$$ км/ч.

3. в) Пусть по плану мастерская должна была выпускать $$x$$ пар обуви в день, тогда фактически выпускала $$x+30$$ пар в день.

   По плану заказ должны были выполнить за $$\frac{5400}{x}$$ дней, фактически — за $$\frac{5400}{x+30}$$ дней.

   По условию это на 9 дней меньше:

   $$ \frac{5400}{x}-\frac{5400}{x+30}=9 $$

   $$ \frac{5400(x+30)-5400x}{x(x+30)}=9 $$

   $$ \frac{162000}{x(x+30)}=9 $$

   $$ 18000=x(x+30) $$

   $$ x^2+30x-18000=0 $$

   $$ D=30^2-4\cdot 1\cdot(-18000)=72900,\quad \sqrt{D}=270 $$

   $$ x=\frac{-30\pm 270}{2} $$

   $$ x_1=-150,\quad x_2=120 $$

   Значит, по плану мастерская должна была выпускать $$120$$ пар в день.

   Тогда фактически выпускала $$120+30=150$$ пар в день, и заказ был выполнен за

   $$ 5400:150=36 $$

   дней.

4. г) Пусть по плану токарь должен был обрабатывать $$x$$ деталей в час, тогда фактически — $$x+20$$ деталей в час.

   По плану он должен был работать $$\frac{120}{x}$$ ч, а фактически — $$\frac{120}{x+20}$$ ч, что на 1 ч меньше:

   $$ \frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1 $$

   $$ \frac{120(x+20)-120x}{x(x+20)}=1 $$

   $$ 120(x+20)-120x=x(x+20) $$

   $$ 2400=x^2+20x $$

   $$ x^2+20x-2400=0 $$

   $$ D=20^2-4\cdot 1\cdot(-2400)=10000,\quad \sqrt{D}=100 $$

   $$ x=\frac{-20\pm 100}{2} $$

   $$ x_1=-60,\quad x_2=40 $$

   Подходит только положительное значение: $$x=40$$ деталей в час.

Ответ

а) $$50$$ км/ч; б) $$65$$ км/ч; в) $$36$$ дней; г) $$40$$ деталей в час.