Упр.37.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
- а) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми $$30\ \text{км}$$, выехал мотоциклист. Он ехал со скоростью на $$10\ \text{км/ч}$$ больше, чем обычно, поэтому приехал на $$6\ \text{мин}$$ раньше. С какой скоростью обычно ездил мотоциклист по этому маршруту?
б) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми $$195\ \text{км}$$, выехали два автомобиля. Скорость первого была на $$10\ \text{км/ч}$$ больше скорости второго, поэтому первый автомобиль прибыл в пункт В на $$24\ \text{мин}$$ раньше второго. С какой скоростью ехал второй автомобиль?
Задание учебника 2019 года
- а) Мастерская к определённому сроку должна была выпустить $$5400$$ пар обуви. Фактически она выпускала в день на $$30$$ пар больше плана и выполнила заказ на $$9$$ дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?
б) Токарь должен обработать $$120$$ деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на $$20$$ деталей больше и поэтому закончил работу на $$1\ \text{ч}$$ раньше срока. Сколько деталей в час он должен был обрабатывать по плану?
а) Пусть обычно мотоциклист ехал со скоростью $$x$$ км/ч, тогда в этот раз он ехал со скоростью $$x+10$$ км/ч.
Время в пути обычно: $$\frac{30}{x}$$ ч, в этот раз: $$\frac{30}{x+10}$$ ч.
По условию он приехал на 6 мин раньше, то есть на $$\frac{1}{10}$$ ч раньше:
$$\frac{30}{x}-\frac{30}{x+10}=\frac{1}{10}$$
$$\frac{30(x+10)-30x}{x(x+10)}=\frac{1}{10}$$
$$\frac{300}{x(x+10)}=\frac{1}{10}$$
$$3000=x(x+10)$$
$$x^2+10x-3000=0$$
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-3000)=12100,\quad \sqrt{D}=110$$
$$x=\frac{-10\pm 110}{2}$$
$$x_1=-60,\quad x_2=50$$
Так как скорость не может быть отрицательной, получаем $$x=50$$ км/ч.
б) Пусть скорость второго автомобиля была $$x$$ км/ч, тогда скорость первого — $$x+10$$ км/ч.
Время в пути: у второго $$\frac{195}{x}$$ ч, у первого $$\frac{195}{x+10}$$ ч.
Первый приехал на 24 мин раньше, то есть на $$\frac{2}{5}$$ ч раньше:
$$\frac{195}{x}-\frac{195}{x+10}=\frac{2}{5}$$
$$\frac{195(x+10)-195x}{x(x+10)}=\frac{2}{5}$$
$$\frac{1950}{x(x+10)}=\frac{2}{5}$$
$$9750=2x(x+10)$$
$$x^2+10x-4875=0$$
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-4875)=19600,\quad \sqrt{D}=140$$
$$x=\frac{-10\pm 140}{2}$$
$$x_1=-75,\quad x_2=65$$
Подходит только положительное значение: $$x=65$$ км/ч.
в) Пусть по плану мастерская должна была выпускать $$x$$ пар обуви в день, тогда фактически выпускала $$x+30$$ пар в день.
По плану заказ должны были выполнить за $$\frac{5400}{x}$$ дней, фактически — за $$\frac{5400}{x+30}$$ дней.
По условию это на 9 дней меньше:
$$\frac{5400}{x}-\frac{5400}{x+30}=9$$
$$\frac{5400(x+30)-5400x}{x(x+30)}=9$$
$$\frac{162000}{x(x+30)}=9$$
$$18000=x(x+30)$$
$$x^2+30x-18000=0$$
$$D=30^2-4\cdot 1\cdot(-18000)=72900,\quad \sqrt{D}=270$$
$$x=\frac{-30\pm 270}{2}$$
$$x_1=-150,\quad x_2=120$$
Значит, по плану мастерская должна была выпускать $$120$$ пар в день.
Тогда фактически выпускала $$120+30=150$$ пар в день, и заказ был выполнен за
$$5400:150=36$$
дней.
г) Пусть по плану токарь должен был обрабатывать $$x$$ деталей в час, тогда фактически — $$x+20$$ деталей в час.
По плану он должен был работать $$\frac{120}{x}$$ ч, а фактически — $$\frac{120}{x+20}$$ ч, что на 1 ч меньше:
$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1$$
$$\frac{120(x+20)-120x}{x(x+20)}=1$$
$$120(x+20)-120x=x(x+20)$$
$$2400=x^2+20x$$
$$x^2+20x-2400=0$$
$$D=20^2-4\cdot 1\cdot(-2400)=10000,\quad \sqrt{D}=100$$
$$x=\frac{-20\pm 100}{2}$$
$$x_1=-60,\quad x_2=40$$
Подходит только положительное значение: $$x=40$$ деталей в час.
Ответ
а) $$50$$ км/ч; б) $$65$$ км/ч; в) $$36$$ дней; г) $$40$$ деталей в час.
