Упр.37.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого на б см больше другого, а площадь равна 108 см^2? а) Колонна одинаковых автомашин должна перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т груза меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя такими же машинами. Сколько машин было задействовано в перевозке груза?
б) Два ноля имеют общую площадь 20 га. С первого поля собрали 550 т, а со второго 540 т картофеля. Сколько тонн картофеля собрали с 1 га каждого поля, если с 1 га первого поля собрали на Ют меньше, чем с 1 га второго поля?

Подробный ответ

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая — $$x+14$$ см. По теореме Пифагора:
$$ x^2+(x+14)^2=34^2 $$
$$ x^2+x^2+28x+196=1156 $$
$$ 2x^2+28x-960=0 $$
$$ x^2+14x-480=0 $$
$$ D=14^2-4\cdot 1\cdot(-480)=196+1920=2116 $$
$$ \sqrt{D}=46 $$
$$ x=\frac{-14\pm 46}{2} $$
Получаем $$x_1=-30$$, $$x_2=16$$. Подходит только $$x=16$$ см, тогда вторая сторона равна $$30$$ см.
Площадь прямоугольника:
$$ S=16\cdot 30=480\ \text{см}^2 $$
Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $$x$$ см, тогда другой — $$x+6$$ см. По условию площадь равна $$108\ \text{см}^2$$:
$$ \frac12 x(x+6)=108 $$
$$ x(x+6)=216 $$
$$ x^2+6x-216=0 $$
$$ D=6^2-4\cdot 1\cdot(-216)=36+864=900 $$
$$ \sqrt{D}=30 $$
$$ x=\frac{-6\pm 30}{2} $$
Получаем $$x_1=-18$$, $$x_2=12$$. Подходит $$x=12$$ см, тогда второй катет равен $$18$$ см.
Найдём гипотенузу:
$$ c^2=12^2+18^2=144+324=468 $$
$$ c=\sqrt{468}=\sqrt{36\cdot 13}=6\sqrt{13} $$
Пусть сначала планировали грузить по $$x$$ т на машину, тогда фактически грузили по $$x-0{,}5$$ т. Тогда число машин было соответственно $$\frac{60}{x}$$ и $$\frac{60}{x-0{,}5}$$, причём фактически машин стало на 4 больше:
$$ \frac{60}{x-0{,}5}-\frac{60}{x}=4 $$
$$ \frac{60x-60(x-0{,}5)}{x(x-0{,}5)}=4 $$
$$ \frac{30}{x(x-0{,}5)}=4 $$
$$ 4x(x-0{,}5)=30 $$
$$ 4x^2-2x-30=0 $$
$$ 2x^2-x-15=0 $$
$$ D=1+120=121 $$
$$ x=\frac{1\pm 11}{4} $$
Подходит $$x=3$$ т, значит фактически грузили по $$2{,}5$$ т на машину.
Тогда машин было:
$$ \frac{60}{2{,}5}=24 $$
Пусть с 1 га первого поля собрали $$x$$ т картофеля, тогда со второго — $$x+10$$ т. Площади полей равны:
$$ \frac{550}{x}\ \text{га и}\ \frac{540}{x+10}\ \text{га} $$
По условию их сумма равна 20 га:
$$ \frac{550}{x}+\frac{540}{x+10}=20 $$
$$ 550(x+10)+540x=20x(x+10) $$
$$ 1090x+5500=20x^2+200x $$
$$ 2x^2-89x-550=0 $$
$$ D=89^2+4\cdot 2\cdot 550=7921+4400=12321 $$
$$ \sqrt{D}=111 $$
$$ x=\frac{89\pm 111}{4} $$
Подходит $$x=50$$, значит со второго поля собрали $$60$$ т с 1 га.