Упр.37.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
- а) Чему равна площадь прямоугольника, одна сторона которого на $$14\ \text{см}$$ больше другой, а диагональ равна $$34\ \text{см}$$?
б) Чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого на $$6\ \text{см}$$ больше другого, а площадь равна $$108\ \text{см}^2$$?
Задание учебника 2019 года
- а) Колонна одинаковых автомашин должна перевезти со склада в речной порт $$60\ \text{т}$$ груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на $$0{,}5\ \text{т}$$ груза меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя такими же машинами. Сколько машин было задействовано в перевозке груза?
б) Два поля имеют общую площадь $$20\ \text{га}$$. С первого поля собрали $$550\ \text{т}$$, а со второго — $$540\ \text{т}$$ картофеля. Сколько тонн картофеля собрали с $$1\ \text{га}$$ каждого поля, если с $$1\ \text{га}$$ первого поля собрали на $$10\ \text{т}$$ меньше, чем с $$1\ \text{га}$$ второго поля?
Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая — $$x+14$$ см. По теореме Пифагора:
$$x^2+(x+14)^2=34^2$$
$$x^2+x^2+28x+196=1156$$
$$2x^2+28x-960=0$$
$$x^2+14x-480=0$$
$$D=14^2-4\cdot 1\cdot(-480)=196+1920=2116$$
$$\sqrt{D}=46$$
$$x=\frac{-14\pm 46}{2}$$
Получаем $$x_1=-30$$, $$x_2=16$$. Подходит только $$x=16$$ см, тогда вторая сторона равна $$30$$ см.
Площадь прямоугольника:
$$S=16\cdot 30=480\ \text{см}^2$$
Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $$x$$ см, тогда другой — $$x+6$$ см. По условию площадь равна $$108\ \text{см}^2$$:
$$\frac12 x(x+6)=108$$
$$x(x+6)=216$$
$$x^2+6x-216=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-216)=36+864=900$$
$$\sqrt{D}=30$$
$$x=\frac{-6\pm 30}{2}$$
Получаем $$x_1=-18$$, $$x_2=12$$. Подходит $$x=12$$ см, тогда второй катет равен $$18$$ см.
Найдём гипотенузу:
$$c^2=12^2+18^2=144+324=468$$
$$c=\sqrt{468}=\sqrt{36\cdot 13}=6\sqrt{13}$$
Пусть сначала планировали грузить по $$x$$ т на машину, тогда фактически грузили по $$x-0{,}5$$ т. Тогда число машин было соответственно $$\frac{60}{x}$$ и $$\frac{60}{x-0{,}5}$$, причём фактически машин стало на 4 больше:
$$\frac{60}{x-0{,}5}-\frac{60}{x}=4$$
$$\frac{60x-60(x-0{,}5)}{x(x-0{,}5)}=4$$
$$\frac{30}{x(x-0{,}5)}=4$$
$$4x(x-0{,}5)=30$$
$$4x^2-2x-30=0$$
$$2x^2-x-15=0$$
$$D=1+120=121$$
$$x=\frac{1\pm 11}{4}$$
Подходит $$x=3$$ т, значит фактически грузили по $$2{,}5$$ т на машину.
Тогда машин было:
$$\frac{60}{2{,}5}=24$$
Пусть с 1 га первого поля собрали $$x$$ т картофеля, тогда со второго — $$x+10$$ т. Площади полей равны:
$$\frac{550}{x}\ \text{га и}\ \frac{540}{x+10}\ \text{га}$$
По условию их сумма равна 20 га:
$$\frac{550}{x}+\frac{540}{x+10}=20$$
$$550(x+10)+540x=20x(x+10)$$
$$1090x+5500=20x^2+200x$$
$$2x^2-89x-550=0$$
$$D=89^2+4\cdot 2\cdot 550=7921+4400=12321$$
$$\sqrt{D}=111$$
$$x=\frac{89\pm 111}{4}$$
Подходит $$x=50$$, значит со второго поля собрали $$60$$ т с 1 га.
Ответ
а) $$480\ \text{см}^2$$; б) $$6\sqrt{13}$$; в) $$24$$ машины; г) $$50$$ т/га и $$60$$ т/га.
