Упр.37.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (2x — 1)(x + 4) + 7 = x(x — 1);
б) (2x — 3)^2 + x(x + 4) — 9 = 4;
в) (4x — 3)(4x + 3) — 3x(2x + 6) = 5x^2 — 18;
г) (x + 5)(2x — 1) = x(x + 3) — 10;
д) (2x + 3)^2 — x(2x — 3) = x(1 — x) + 1;
е) (3x — 2)(3x + 2) — 2x(4x + 5) + 9 = 2(x + 15). а) Прогулочный теплоход отправился от пристани В вниз по течению реки. После получасовой стоянки в А он отправился обратно и через 8 ч после отплытия из А вернулся к той же пристани. Какова собственная скорость теплохода, если расстояние между пристанями А и В равно 36 км, а скорость течения реки равна 2 км/ч?
б) Лодка прошла 3 км по течению реки и 3 км против течения реки за то же время, за которое плот мог бы проплыть 4 км по течению. Собственная скорость лодки равна 6 км/ч. Найдите скорость течения реки.

1. а)

   $$ (2x-1)(x+4)+7=x(x-1) $$
   $$ 2x^2+8x-x-4+7=x^2-x $$
   $$ x^2+8x+3=0 $$
   $$ D=8^2-4\cdot 1\cdot 3=64-12=52 $$
   $$ x=\frac{-8\pm \sqrt{52}}{2}=-4\pm \sqrt{13} $$

2. б)

   $$ (2x-3)^2+x(x+4)-9=4 $$
   $$ 4x^2-12x+9+x^2+4x-9-4=0 $$
   $$ 5x^2-8x-4=0 $$
   $$ D=(-8)^2-4\cdot 5\cdot (-4)=64+80=144 $$
   $$ x=\frac{8\pm 12}{10} $$
   $$ x_1=-\frac{2}{5},\quad x_2=2 $$

3. в)

   $$ (4x-3)(4x+3)-3x(2x+6)=5x^2-18 $$
   $$ 16x^2-9-6x^2-18x=5x^2-18 $$
   $$ 5x^2-18x+9=0 $$
   $$ D=(-18)^2-4\cdot 5\cdot 9=324-180=144 $$
   $$ x=\frac{18\pm 12}{10} $$
   $$ x_1=\frac{3}{5},\quad x_2=3 $$

4. г)

   $$ (x+5)(2x-1)=x(x+3)-10 $$
   $$ 2x^2+9x-5=x^2+3x-10 $$
   $$ x^2+6x+5=0 $$
   $$ (x+1)(x+5)=0 $$
   $$ x=-1,\quad x=-5 $$

5. д)

   $$ (2x+3)^2-x(2x-3)=x(1-x)+1 $$
   $$ 4x^2+12x+9-2x^2+3x=x-x^2+1 $$
   $$ 3x^2+14x+8=0 $$
   $$ D=14^2-4\cdot 3\cdot 8=196-96=100 $$
   $$ x=\frac{-14\pm 10}{6} $$
   $$ x_1=-4,\quad x_2=-\frac{2}{3} $$

6. е)

   $$ (3x-2)(3x+2)-2x(4x+5)+9=2(x+15) $$
   $$ 9x^2-4-8x^2-10x+9=2x+30 $$
   $$ x^2-12x-25=0 $$
   $$ D=(-12)^2-4\cdot 1\cdot (-25)=144+100=244 $$
   $$ x=\frac{12\pm \sqrt{244}}{2}=6\pm \sqrt{61} $$

7. а)

   Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению он идёт со скоростью $$x+2$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-2$$ км/ч.

   По условию:
   $$ \frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}+\frac{1}{2}=8 $$
   $$ \frac{36}{x-2}+\frac{36}{x+2}=\frac{15}{2} $$
   $$ 72(x+2)+72(x-2)=15(x^2-4) $$
   $$ 144x=15x^2-60 $$
   $$ 5x^2-48x-20=0 $$
   $$ D=48^2+4\cdot 5\cdot 20=2704=52^2 $$
   $$ x=\frac{48\pm 52}{10} $$
   $$ x_1=-\frac{2}{5}\;(\text{не подходит}),\quad x_2=10 $$

8. б)

   Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению $$6+x$$ км/ч, против течения $$6-x$$ км/ч.

   По условию:
   $$ \frac{3}{6+x}+\frac{3}{6-x}=\frac{4}{x} $$
   $$ 3x(6-x)+3x(6+x)=4(36-x^2) $$
   $$ 36x=144-4x^2 $$
   $$ x^2+9x-36=0 $$
   $$ D=9^2+4\cdot 36=225 $$
   $$ x=\frac{-9\pm 15}{2} $$
   $$ x_1=-12\;(\text{не подходит}),\quad x_2=3 $$

Ответ

а) $$x=-4\pm \sqrt{13}$$; б) $$x=-\frac{2}{5},\ 2$$; в) $$x=\frac{3}{5},\ 3$$; г) $$x=-5,\ -1$$; д) $$x=-4,\ -\frac{2}{3}$$; е) $$x=6\pm \sqrt{61}$$; а) $$10$$ км/ч; б) $$3$$ км/ч.