Упр.37.43 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 34.43. При каких значениях параметра р неравенство х2 < = 9р2 имеет одно целочисленное решение?

Рассмотрим неравенство

$$x^2 \le 9p^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$x^2-9p^2 \le 0,$$

$$\left(x-3p\right)\left(x+3p\right)\le 0.$$

Отсюда получаем промежуток решений:

$$-3p \le x \le 3p.$$

Чтобы неравенство имело ровно одно целочисленное решение, в этом промежутке должно быть только одно целое число. Это возможно только при

$$-1<3p<1,$$

то есть

$$-\frac13<p<\frac13.$$

При таких значениях параметра единственное целое решение — $$x=0$$.

Ответ

$$p\in\left(-\frac13;\frac13\right).$$