Упр.37.41 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$p$$, при которых имеет действительные корни уравнение:
   а) $$3px^2 — 5px + 13 = 0$$;
   б) $$(1 — 3p)x^2 — 4x — 3 = 0$$;
   в) $$px^2 — 3px — 2 = 0$$;
   г) $$(p — 1)x^2 — (2p — 3)x + p + 5 = 0$$.

1. Чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, нужно и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен: $$D \ge 0.$$

2. а) $$3px^2-6px+13=0$$

   $$D=(-6p)^2-4\cdot 3p\cdot 13=36p^2-156p=12p(3p-13).$$

   $$12p(3p-13)\ge 0.$$

   Отсюда $$p\in(-\infty;0]\cup\left[\frac{13}{3};+\infty\right).$$

3. б) $$(1-3p)x^2-4x-3=0$$

   $$D=(-4)^2-4(1-3p)(-3)=16+12-36p=28-36p.$$

   $$28-36p\ge 0,\qquad p\le \frac{28}{36}=\frac79.$$

   Значит, $$p\in\left(-\infty;\frac79\right].$$

4. в) $$px^2-3px-2=0$$

   $$D=(-3p)^2-4\cdot p\cdot(-2)=9p^2+8p= p(9p+8).$$

   $$p(9p+8)\ge 0.$$

   Отсюда $$p\in\left(-\infty;-\frac89\right]\cup[0;+\infty).$$

5. г) $$(p-1)x^2-(2p-3)x+p+5=0$$

   $$D=(-(2p-3))^2-4(p-1)(p+5).$$

   $$D=(2p-3)^2-4(p^2+4p-5)=4p^2-12p+9-4p^2-16p+20=-28p+29.$$

   $$-28p+29\ge 0,\qquad p\le \frac{29}{28}=1\frac{1}{28}.$$

   Значит, $$p\in\left(-\infty;\frac{29}{28}\right].$$

Ответ

а) $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{13}{3};+\infty\right)$$; б) $$\left(-\infty;\frac79\right]$$; в) $$\left(-\infty;-\frac89\right]\cup[0;+\infty)$$; г) $$\left(-\infty;\frac{29}{28}\right].$$