Упр.37.4 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) x^2 — 6v3 x + 27 = 0; г) x^2 — 10v5 x + 50 = 0;
б) x^2 + 4v7 x — 21 = 0; д) x^2 + 8v2 x + 16 = 0;
в) 3x^2 — 14v3 x — 15 = 0; е) 5x^2 — 16v7 x + 12 = 0. а) Моторная лодка прошла по течению реки б км, затем по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 ч. С какой скоростью она шла по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
б) Расстояние 21 км катер проходит но течению реки на 0,4 ч быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
а) $$x^2-6\sqrt{3}x+27=0$$
$$a=1,\quad b=-6\sqrt{3},\quad c=27,\quad k=\frac{b}{2}=-3\sqrt{3}.$$
$$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=3\sqrt{3}\pm\sqrt{27-27}=3\sqrt{3}.$$
$$x=3\sqrt{3}.$$
б) $$x^2+4\sqrt{7}x-21=0$$
$$a=1,\quad b=4\sqrt{7},\quad c=-21,\quad k=\frac{b}{2}=2\sqrt{7}.$$
$$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=-2\sqrt{7}\pm\sqrt{28+21}=-2\sqrt{7}\pm 7.$$
$$x=-2\sqrt{7}\pm 7.$$
в) $$3x^2-14\sqrt{3}x-15=0$$
$$a=3,\quad b=-14\sqrt{3},\quad c=-15,\quad k=\frac{b}{2}=-7\sqrt{3}.$$
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}=\frac{7\sqrt{3}\pm\sqrt{147+45}}{3}=\frac{7\sqrt{3}\pm 8\sqrt{3}}{3}.$$
$$x_1=\frac{7\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad x_2=\frac{7\sqrt{3}+8\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}.$$
$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{и}\ x=5\sqrt{3}.$$
г) $$x^2-10\sqrt{5}x+50=0$$
$$a=1,\quad b=-10\sqrt{5},\quad c=50,\quad k=\frac{b}{2}=-5\sqrt{5}.$$
$$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=5\sqrt{5}\pm\sqrt{125-50}=5\sqrt{5}\pm 5\sqrt{3}.$$
$$x=5\sqrt{5}\pm 5\sqrt{3}.$$
д) $$x^2+8\sqrt{2}x+16=0$$
$$a=1,\quad b=8\sqrt{2},\quad c=16,\quad k=\frac{b}{2}=4\sqrt{2}.$$
$$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=-4\sqrt{2}\pm\sqrt{32-16}=-4\sqrt{2}\pm 4.$$
$$x=-4\sqrt{2}\pm 4.$$
е) $$5x^2-16\sqrt{7}x+12=0$$
$$a=5,\quad b=-16\sqrt{7},\quad c=12,\quad k=\frac{b}{2}=-8\sqrt{7}.$$
$$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}=\frac{8\sqrt{7}\pm\sqrt{448-60}}{5}=\frac{8\sqrt{7}\pm 2\sqrt{97}}{5}.$$
$$x=\frac{8\sqrt{7}\pm 2\sqrt{97}}{5}.$$
а) Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч, тогда по течению реки она шла со скоростью $$x+3$$ км/ч.
Время движения:
$$\frac{6}{x+3}$$
ч и
$$\frac{10}{x}$$
ч.Составим уравнение:
$$\frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1.$$
$$6x+10(x+3)=x(x+3)$$
$$6x+10x+30=x^2+3x$$
$$x^2-13x-30=0.$$$$D=169+120=289=17^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 17}{2}.$$$$x_1=-2 \text{ (не подходит)},\qquad x_2=15.$$
Собственная скорость лодки равна $$15$$ км/ч.
б) Пусть собственная скорость катера равна $$x$$ км/ч, тогда по течению его скорость $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
По течению катер проходит 21 км за $$\frac{21}{x+3}$$ ч, против течения — за $$\frac{21}{x-3}$$ ч.
По условию:
$$\frac{21}{x-3}-\frac{21}{x+3}=0{,}4=\frac{2}{5}.$$
$$\frac{21\bigl((x+3)-(x-3)\bigr)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{5}$$
$$\frac{126}{x^2-9}=\frac{2}{5}$$
$$630=2x^2-18$$
$$2x^2=648$$
$$x^2=324.$$$$x=18 \text{ или } x=-18,$$
но подходит только $$x=18$$.Собственная скорость катера равна $$18$$ км/ч.
Ответ
а) $$x=3\sqrt{3}$$; б) $$x=-2\sqrt{7}\pm 7$$; в) $$x=-\frac{\sqrt{3}}{3},\ 5\sqrt{3}$$; г) $$x=5\sqrt{5}\pm 5\sqrt{3}$$; д) $$x=-4\sqrt{2}\pm 4$$; е) $$x=\frac{8\sqrt{7}\pm 2\sqrt{97}}{5}$$; а) $$15$$ км/ч; б) $$18$$ км/ч.
