Упр.37.39 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых не имеет действительных корней уравнение:

1. а) $$(p-1)x^2-4x+5=0$$; б) $$(p-15)x^2+4px-3=0$$; в) $$(2p+3)x^2-6x+8=0$$; г) $$(3p-5)x^2-(6p-2)x+3p-2=0$$.

1. Чтобы квадратное уравнение не имело действительных корней, его дискриминант должен быть отрицательным: $$D<0$$.

   а) $$(p-1)x^2-4x+5=0$$

   $$D=(-4)^2-4(p-1)\cdot 5=16-20p+20=36-20p.$$

   $$36-20p<0$$

   $$20p>36$$

   $$p>\frac{36}{20}=\frac{9}{5}.$$

2. б) $$(p-15)x^2+4px-3=0$$

   $$D=(4p)^2-4(p-15)\cdot(-3)=16p^2+12p-180.$$

   $$16p^2+12p-180<0$$

   Разделим на $$4$$:

   $$4p^2+3p-45<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D_1=3^2-4\cdot 4\cdot(-45)=9+720=729=27^2,$$

   $$p_{1,2}=\frac{-3\pm 27}{8}.$$

   $$p_1=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}, \qquad p_2=3.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$4p^2+3p-45<0 \quad \text{при} \quad p\in\left(-\frac{15}{4};\,3\right).$$

3. в) $$(2p+3)x^2-6x+8=0$$

   $$D=(-6)^2-4(2p+3)\cdot 8=36-64p-96=-60-64p.$$

   $$-60-64p<0$$

   $$-64p<60$$

   $$p>-\frac{60}{64}=-\frac{15}{16}.$$

4. г) $$(3p-5)x^2-(6p-2)x+3p-2=0$$

   $$D=(-(6p-2))^2-4(3p-5)(3p-2).$$

   $$D=(6p-2)^2-4(9p^2-21p+10)=36p^2-24p+4-36p^2+84p-40=60p-36.$$

   $$60p-36<0$$

   $$60p<36$$

   $$p<\frac{36}{60}=\frac{3}{5}.$$

Ответ

а) $$p>\frac{9}{5}$$; б) $$p\in\left(-\frac{15}{4};\,3\right)$$; в) $$p>-\frac{15}{16}$$; г) $$p<\frac{3}{5}$$.