Упр.37.36 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$3x^2-2px-p+6=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2p)^2-4\cdot 3\cdot(-p+6)=4p^2+12p-72=4(p^2+3p-18).$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ равен $$3\neq 0$$, число корней зависит от знака дискриминанта.

а) Два различных корня

Нужно, чтобы $$D>0$$:

$$p^2+3p-18>0.$$

Разложим на множители:

$$p^2+3p-18=(p+6)(p-3).$$

Тогда

$$ (p+6)(p-3)>0,$$

откуда

$$p<-6 \quad \text{или} \quad p>3.$$

б) Один корень

Нужно, чтобы $$D=0$$:

$$p^2+3p-18=0,$$

$$ (p+6)(p-3)=0.$$

Следовательно,

$$p=-6 \quad \text{или} \quad p=3.$$

в) Корней нет

Нужно, чтобы $$D<0$$:

$$p^2+3p-18<0,$$

$$ (p+6)(p-3)<0.$$

Отсюда

$$-6<p<3.$$

Ответ

а) $$p\in(-\infty;-6)\cup(3;+\infty)$$; б) $$p=-6$$ или $$p=3$$; в) $$p\in(-6;3)$$.