Упр.37.33 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Равносильны ли неравенства:

а) $$\frac{1}{x^2-5x-14}>0$$ и $$\frac{1}{x^2-5x-14}>-0$$;

б) $$x^2+6x-16<0$$ и $$x^2+6x-16\leq 0$$;

в) $$x^2-6x+8\geq 0$$ и $$(x^2-6x+8)^{-1}\geq 0$$;

г) $$\frac{3}{x^2-7x-10}<0$$ и $$\frac{x^2-7x-10}{3}<0$$?

1. а) Рассмотрим неравенства

   $$\frac{1}{x^2-5x-14}>0 \quad \text{и} \quad \frac{1}{x^2-5x-14}\ge 0.$$

   Так как числитель равен $$1>0,$$ то в обоих случаях нужно, чтобы

   $$x^2-5x-14>0.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

2. б)

   $$x^2+6x-16<0 \quad \text{и} \quad x^2+6x-16\le 0.$$

   Во втором неравенстве к решению добавляются точки, в которых выражение равно нулю, а в первом эти точки не входят. Значит, неравенства неравносильны.

3. в)

   $$x^2-6x+8\ge 0 \quad \text{и} \quad (x^2-6x+8)^{-1}\ge 0.$$

   Второе неравенство равносильно

   $$\frac{1}{x^2-6x+8}\ge 0.$$

   Но при этом должно быть $$x^2-6x+8>0,$$ то есть знак строгий. Поэтому неравенства неравносильны.

4. г)

   $$\frac{3}{x^2-7x-10}<0 \quad \text{и} \quad \frac{x^2-7x-10}{3}<0.$$

   Так как $$3>0,$$ то первое неравенство равносильно

   $$x^2-7x-10<0.$$

   И второе неравенство тоже равносильно

   $$x^2-7x-10<0.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

Ответ

а) равносильны; б) неравносильны; в) неравносильны; г) равносильны.