Упр.37.31 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

а) $$x^4+16x^2-17<0$$; б) $$y^4+12y^2-64\geq0$$; в) $$x^4+6x^2-7>0$$; г) $$z^4+3z^2-28\leq0$$.

Подробный ответ

а) $$x^4+16x^2-17<0$$
Сделаем замену: $$x^2=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+16t-17<0.$$
Найдём корни уравнения $$t^2+16t-17=0$$:
$$D=16^2+4\cdot 17=256+68=324=18^2,$$
$$t_1=\frac{-16-18}{2}=-17,\qquad t_2=\frac{-16+18}{2}=1.$$
Так как $$t\ge 0,$$ подходит только промежуток $$0\le t<1.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2<1 \;\Rightarrow\; -1<x<1.$$
б) $$y^4+12y^2-64\ge 0$$
Положим $$y^2=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+12t-64\ge 0.$$
Решим уравнение $$t^2+12t-64=0$$:
$$D=12^2+4\cdot 64=144+256=400=20^2,$$
$$t_1=\frac{-12-20}{2}=-16,\qquad t_2=\frac{-12+20}{2}=4.$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем:
$$t\ge 4.$$
Значит,
$$y^2\ge 4 \;\Rightarrow\; y\le -2 \text{ или } y\ge 2.$$
в) $$x^4+6x^2-7>0$$
Сделаем замену: $$x^2=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+6t-7>0.$$
Найдём корни уравнения $$t^2+6t-7=0$$:
$$D=6^2+4\cdot 7=36+28=64=8^2,$$
$$t_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-6+8}{2}=1.$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем:
$$t>1.$$
Тогда
$$x^2>1 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x>1.$$
г) $$z^4+3z^2-28\le 0$$
Положим $$z^2=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+3t-28\le 0.$$
Решим уравнение $$t^2+3t-28=0$$:
$$D=3^2+4\cdot 28=9+112=121=11^2,$$
$$t_1=\frac{-3-11}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-3+11}{2}=4.$$
С учётом $$t\ge 0$$ имеем:
$$0\le t\le 4.$$
Значит,
$$z^2\le 4 \;\Rightarrow\; -2\le z\le 2.$$