Упр.37.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) x^2 — 94x — 1155 = 0; г) x^2 + 62x — 1955 = 0;
б) 3x^2 + 130x — 133 = 0; д) 17x^2 — 128x — 64 = 0;
в) 8x^2 + 136x — 672 = 0; е) 5x^2 — 224x — 768 = 0. а) Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?
б) Расстояние между городами 44 км. Из этих городов навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода и встретились через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?
а) $$x^2-94x-1155=0$$
$$D=94^2+4\cdot1155=8836+4620=13456=116^2$$
$$x_{1,2}=\frac{94\pm116}{2}$$
$$x_1=\frac{94-116}{2}=-11,\qquad x_2=\frac{94+116}{2}=105$$
б) $$3x^2+130x-133=0$$
$$D=130^2-4\cdot3\cdot(-133)=16900+1596=18496=136^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-130\pm136}{6}$$
$$x_1=\frac{-130-136}{6}=-\frac{133}{3},\qquad x_2=\frac{-130+136}{6}=1$$
в) $$8x^2+136x-672=0$$
$$D=136^2-4\cdot8\cdot(-672)=18496+21504=40000=200^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-136\pm200}{16}$$
$$x_1=\frac{-136-200}{16}=-21,\qquad x_2=\frac{-136+200}{16}=4$$
г) $$x^2+62x-1955=0$$
$$D=62^2+4\cdot1955=3844+7820=11664=108^2$$
$$x_{1,2}=\frac{-62\pm108}{2}$$
$$x_1=\frac{-62-108}{2}=-85,\qquad x_2=\frac{-62+108}{2}=23$$
д) $$17x^2-128x-64=0$$
$$D=128^2-4\cdot17\cdot(-64)=16384+4352=20736=144^2$$
$$x_{1,2}=\frac{128\pm144}{34}$$
$$x_1=\frac{128-144}{34}=-\frac{8}{17},\qquad x_2=\frac{128+144}{34}=8$$
е) $$5x^2-224x-768=0$$
$$D=224^2-4\cdot5\cdot(-768)=50176+15360=65536=256^2$$
$$x_{1,2}=\frac{224\pm256}{10}$$
$$x_1=\frac{224-256}{10}=-\frac{16}{5},\qquad x_2=\frac{224+256}{10}=48$$
а) Пусть велосипедист планировал ехать со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда по условию он должен был проезжать за $$1\frac{1}{4}$$ ч расстояние $$1\frac{1}{4}x$$ км, а фактически ехал на 1 км/ч быстрее, то есть со скоростью $$1\frac{1}{4}x+1$$ км/ч.
Время в пути по плану: $$\frac{96}{x}$$ ч, фактически: $$\frac{96}{\frac{5x+4}{4}}=\frac{384}{5x+4}$$ ч.
По условию:
$$\frac{96}{x}-\frac{384}{5x+4}=2$$
$$96(5x+4)-384x=2x(5x+4)$$
$$480x+384-384x=10x^2+8x$$
$$10x^2-88x-384=0$$
$$5x^2-44x-192=0$$
$$D=44^2+4\cdot5\cdot192=1936+3840=5776=76^2$$
$$x_{1,2}=\frac{44\pm76}{10}$$
$$x_1=-\frac{16}{5}\;(\text{не подходит}),\qquad x_2=12$$
Тогда фактическая скорость:
$$1\frac{1}{4}\cdot12+1=15+1=16$$
б) Скорость сближения пешеходов:
$$\frac{44}{4}=11\text{ км/ч}$$
Пусть скорость первого пешехода $$x$$ км/ч, тогда скорость второго $$11-x$$ км/ч.
Если бы первый вышел на $$44$$ мин раньше, то он был бы в пути на $$\frac{44}{60}=\frac{11}{15}$$ ч дольше. По условию встреча произошла бы в середине пути, значит каждый прошёл бы по $$22$$ км.
Составим уравнение:
$$\frac{22}{x}-\frac{22}{11-x}=\frac{11}{15}$$
$$15(11-x)\cdot22-15x\cdot22=11x(11-x)$$
$$11x^2-781x+3630=0$$
$$D=781^2-4\cdot11\cdot3630=3721=61^2$$
$$x_{1,2}=\frac{781\pm61}{22}$$
$$x_1=5,\qquad x_2=38\;(\text{не подходит})$$
Значит, скорость второго пешехода:
$$11-5=6$$
Ответ
а) $$x=-11,\ 105$$; б) $$x=-\frac{133}{3},\ 1$$; в) $$x=-21,\ 4$$; г) $$x=-85,\ 23$$; д) $$x=-\frac{8}{17},\ 8$$; е) $$x=-\frac{16}{5},\ 48$$; а) $$16$$ км/ч; б) $$5$$ км/ч и $$6$$ км/ч.
