Упр.37.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) трехчлен 2×2 + 5x + 3 принимает положительные значения;
б) трехчлен -x2 — 1/3*x — 1/36 принимает неотрицательные значения?

а) Решим неравенство $$2x^2+5x+3>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$2x^2+5x+3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm 1}{4}$$

$$x_1=-\frac{6}{4}=-1{,}5,\qquad x_2=-\frac{4}{4}=-1$$

Так как старший коэффициент положительный, то трёхчлен принимает положительные значения вне корней:

$$x\in(-\infty;-1{,}5)\cup(-1;+\infty).$$

б) Решим неравенство $$-x^2-\frac13x-\frac1{36}\ge 0.$$

Умножим обе части на $$-36$$, изменив знак неравенства:

$$36x^2+12x+1\le 0.$$

Решим уравнение $$36x^2+12x+1=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 36\cdot 1=144-144=0$$

$$x=\frac{-12}{2\cdot 36}=-\frac16$$

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратный трёхчлен неотрицателен только в точке касания, значит

$$x=-\frac16.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1{,}5)\cup(-1;+\infty);$$ б) $$x=-\frac16.$$