Упр.37.2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) x^2 — 4x — 1 = 0; г) x^2 + 6x + 7 = 0;
б) 4x — 8x + 1 = 0; д) 9x^2 + 12x + 1 = 0;
в) 7x^2 + 12x — 4 = 0; е) 2x^2 — 16x — 40 = 0. а) Два автомобиля выехали одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приехал на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
б) Велосипедист рассчитывал проехать по маршруту ВС за 2 ч. Однако, когда до пункта С оставалось 6 км, из-за встречного ветра он снизил скорость на 3 км/ч и прибыл в пункт С на 6 мин позже, чем рассчитывал. Чему равна длина маршрута ВС?

1. а) $$x^2-4x-1=0$$

   $$a=1,\; b=-4,\; c=-1,\; k=\frac{b}{2}=-2.$$

   $$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=2\pm\sqrt{(-2)^2-(-1)}=2\pm\sqrt{5}.$$

   Ответ: $$x=2\pm\sqrt{5}.$$

2. б) $$4x^2-8x+1=0$$

   $$a=4,\; b=-8,\; c=1,\; k=\frac{b}{2}=-4.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a} =\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{4} =\frac{4\pm2\sqrt{3}}{4} =\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.$$

   Ответ: $$x=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.$$

3. в) $$7x^2+12x-4=0$$

   $$a=7,\; b=12,\; c=-4,\; k=\frac{b}{2}=6.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a} =\frac{-6\pm\sqrt{36-7\cdot(-4)}}{7} =\frac{-6\pm\sqrt{64}}{7} =\frac{-6\pm8}{7}.$$

   $$x_1=-2,\qquad x_2=\frac{2}{7}.$$

   Ответ: $$x=-2,\; x=\frac{2}{7}.$$

4. г) $$x^2+6x+7=0$$

   $$a=1,\; b=6,\; c=7,\; k=\frac{b}{2}=3.$$

   $$x_{1,2}=-k\pm\sqrt{k^2-c}=-3\pm\sqrt{9-7}=-3\pm\sqrt{2}.$$

   Ответ: $$x=-3\pm\sqrt{2}.$$

5. д) $$9x^2+12x+1=0$$

   $$a=9,\; b=12,\; c=1,\; k=\frac{b}{2}=6.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a} =\frac{-6\pm\sqrt{36-9}}{9} =\frac{-6\pm3\sqrt{3}}{9} =\frac{-2\pm\sqrt{3}}{3}.$$

   Ответ: $$x=\frac{-2\pm\sqrt{3}}{3}.$$

6. е) $$2x^2-16x-40=0$$

   $$a=2,\; b=-16,\; c=-40,\; k=\frac{b}{2}=-8.$$

   $$x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a} =\frac{8\pm\sqrt{64-2\cdot(-40)}}{2} =\frac{8\pm\sqrt{144}}{2} =\frac{8\pm12}{2}.$$

   $$x_1=-2,\qquad x_2=10.$$

   Ответ: $$x=-2,\; x=10.$$

7. а) Пусть скорость второго автомобиля равна $$x$$ км/ч, тогда скорость первого — $$x+10$$ км/ч.

   Время в пути: у второго $$\frac{560}{x}$$ ч, у первого $$\frac{560}{x+10}$$ ч.

   По условию первый приехал на 1 ч раньше:

   $$\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1.$$

   $$560(x+10)-560x=x(x+10)$$
   $$5600=x^2+10x$$
   $$x^2+10x-5600=0.$$

   $$D=10^2+4\cdot5600=22500=150^2.$$

   $$x=\frac{-10+150}{2}=70$$
   (отрицательный корень не подходит).

   Тогда скорость первого автомобиля:

   $$70+10=80\text{ км/ч}.$$

   Ответ: $$80\text{ км/ч}$$ и $$70\text{ км/ч}.$$

8. б) Пусть длина маршрута $$BC$$ равна $$s$$ км. Тогда планируемая скорость велосипедиста:

   $$\frac{s}{2}\text{ км/ч}.$$

   Первые $$s-6$$ км он ехал со скоростью $$\frac{s}{2}$$ км/ч, а последние 6 км — со скоростью $$\frac{s}{2}-3$$ км/ч.

   По условию он опоздал на 6 мин, то есть на $$\frac{1}{10}$$ ч:

   $$ \frac{s-6}{s/2}+\frac{6}{s/2-3}=2+\frac{1}{10}. $$

   $$\frac{2(s-6)}{s}+\frac{6}{s/2-3}=\frac{21}{10}.$$

   После преобразований получаем:

   $$s^2-6s-720=0.$$

   $$D=36+2880=2916=54^2.$$

   $$s=\frac{6+54}{2}=30$$
   (отрицательный корень не подходит).

   Ответ: $$30\text{ км}.$$