Упр.37.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте и прочитайте график функции $$y=-|x-1|+4$$.

Функция $$y=-|x-1|+4$$ получается из графика функции $$y=-|x|$$ сдвигом на 1 единицу влево и на 4 единицы вверх.

Это V-образный график, ветви которого направлены вниз. Вершина графика находится в точке $$(1;4)$$.

Найдём основные характеристики функции:

• область определения: $$(-\infty;+\infty)$$;
• нули функции:
  $$- |x-1| + 4 = 0 \Rightarrow |x-1|=4 \Rightarrow x-1=4 \text{ или } x-1=-4,$$
  откуда $$x=5$$ или $$x=-3$$;
• знак функции:
  $$y>0 \text{ при } x\in(-3;5),$$
  $$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(5;+\infty);$$
• функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$;
• наибольшее значение функции равно $$4$$ при $$x=1$$;
• область значений: $$(-\infty;4]$$.

Для построения достаточно отметить вершину $$(1;4)$$ и точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-3;0)$$ и $$(5;0)$$, после чего провести две симметричные относительно прямой $$x=1$$ лучевые ветви вниз.

Ответ

График — ломаная с вершиной $$(1;4)$$, ветви направлены вниз.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;4].$$
$$y=0$$ при $$x=-3$$ и $$x=5$$; $$y>0$$ при $$x\in(-3;5)$$; $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(5;+\infty)$$.