Упр.37.11 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) -4х2 + 2х — 1/4 < = 0; в) -х2 - 2х + 2 < 0; г) 2х2 + 2х - 1 > = 0.

1. а) $$x^2-2x-1>0$$

   Найдём корни уравнения $$x^2-2x-1=0$$:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8=4\cdot 2,$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=1\pm \sqrt{2}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется вне корней:

   $$x\in(-\infty;1-\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2};+\infty).$$

2. б) $$-4x^2+2x-\frac14\le 0$$

   Умножим неравенство на $$-4$$, изменив знак неравенства:

   $$16x^2-8x+1\ge 0.$$

   Решим уравнение $$16x^2-8x+1=0$$:

   $$D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot 1=64-64=0,$$
   $$x=\frac{8}{32}=\frac14.$$

   Так как квадратный трёхчлен имеет единственный корень и ветви направлены вверх, то $$16x^2-8x+1\ge 0$$ при всех $$x$$.

   Следовательно, исходное неравенство верно при любом $$x$$.

3. в) $$-x^2-2x+2<0$$

   Умножим на $$-1$$, изменив знак неравенства:

   $$x^2+2x-2>0.$$

   Найдём корни уравнения $$x^2+2x-2=0$$:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12=4\cdot 3,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}=-1\pm \sqrt{3}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется вне корней:

   $$x\in(-\infty;-1-\sqrt{3})\cup(-1+\sqrt{3};+\infty).$$

4. г) $$2x^2+2x-1\ge 0$$

   Найдём корни уравнения $$2x^2+2x-1=0$$:

   $$D=2^2-4\cdot 2\cdot(-1)=12=4\cdot 3,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется вне промежутка между корнями, причём корни входят в ответ:

   $$x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{3}}{2};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$(-\infty;1-\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2};+\infty)$$;
б) $$x\in\mathbb{R}$$;
в) $$(-\infty;-1-\sqrt{3})\cup(-1+\sqrt{3};+\infty)$$;
г) $$\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt{3}}{2};+\infty\right).$$