Упр.37.1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=x^2-4x+3$$. С помощью графика решите неравенства: а) $$x^2-4x+3>0$$; б) $$x^2-4x+3\leq0$$; в) $$x^2-4x+3<0$$; г) $$x^2-4x+3\geq0$$.

Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x+3.$$

Это парабола, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, значит, ветви направлены вверх.

Найдём вершину параболы:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2,$$

$$y_0=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.$$

Значит, вершина параболы — $$(2;-1)$$.

Найдём нули функции:

$$x^2-4x+3=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Тогда

$$x_1=1,\quad x_2=3.$$

Следовательно, график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$1$$ и $$3$$, а ось $$Oy$$ в точке $$(0;3)$$.

Так как парабола направлена вверх, то:

• $$x^2-4x+3>0$$ при $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty);$$
• $$x^2-4x+3\le 0$$ при $$x\in[1;3];$$
• $$x^2-4x+3<0$$ при $$x\in(1;3);$$
• $$x^2-4x+3\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$;

б) $$[1;3]$$;

в) $$(1;3)$$;

г) $$(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$