Упр.36.20 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Расположите числа в порядке возрастания:
а) $$\sqrt{11}$$; $$?$$; $$\frac{11}{3}$$; $$2\sqrt{2}$$;
б) $$2?$$; $$\sqrt{37}$$; $$\frac{45}{7}$$; $$4\sqrt{3}$$.
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-|x+3|+2, & \text{если } -7\leq x<1;\\(x-1)^2-2, & \text{если } 1\leq x\leq 5.\end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Найдите значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет единственный корень.
в) Укажите область значений функции.
г) Решите неравенство $$f(x)\geq -2$$.

Подробный ответ

а) Сравним числа по их приближённым значениям:

$$\sqrt{11}\approx 3{,}316,\quad \pi\approx 3{,}142,\quad \frac{11}{3}\approx 3{,}667,\quad 2\sqrt2=\sqrt8\approx 2{,}828.$$

Тогда

$$2\sqrt2<\pi<\sqrt{11}<\frac{11}{3}.$$

б) Сравним числа:

$$2\pi\approx 6{,}283,\quad \sqrt{37}\approx 6{,}083,\quad \frac{45}{7}\approx 6{,}429,\quad 4\sqrt3=\sqrt{48}\approx 6{,}928.$$

Следовательно,

$$\sqrt{37}<2\pi<\frac{45}{7}<4\sqrt3.$$

в) Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -|x+3|+2, & -7\le x<1,\\ (x-1)^2-2, & 1\le x\le 5. \end{cases}$$

На промежутке $$-7\le x<1$$ график функции $$y=-|x+3|+2$$ — ломаная с вершиной в точке $$(-3;2)$$. Наибольшее значение здесь равно $$2$$, а наименьшее достигается при $$x=-7$$:

$$f(-7)=-|-7+3|+2=-4+2=-2.$$

На промежутке $$1\le x\le 5$$ функция $$y=(x-1)^2-2$$ — ветвь параболы с вершиной в точке $$(1;-2)$$. Наименьшее значение равно $$-2$$, а наибольшее при $$x=5$$:

$$f(5)=(5-1)^2-2=16-2=14.$$

Значит, область значений функции:

$$[-2;14].$$

г) Решим неравенство $$f(x)\le -2$$ по частям.

1) При $$-7\le x<1$$:

$$-|x+3|+2\le -2$$
$$-|x+3|\le -4$$
$$|x+3|\ge 4.$$

С учётом $$-7\le x<1$$ получаем:

$$x=-7.$$

2) При $$1\le x\le 5$$:

$$(x-1)^2-2\le -2$$
$$(x-1)^2\le 0,$$

откуда

$$x=1.$$