Упр.36.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

б) От квадратного листа картона отрезали полоску шириной 3 см. Площадь оставшейся части равна 70 см^2. Найдите первоначальные размеры листа картона.
а) Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на 1/3. Найдите эту дробь.
б) Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на 1/2. Найдите эту дробь.

1. а) Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда другой — $$x+31$$ см. По формуле площади прямоугольного треугольника получаем:

   $$\frac{1}{2}x(x+31)=180$$

   $$x(x+31)=360$$

   $$x^2+31x-360=0$$

   $$D=31^2+4\cdot 360=961+1440=2401=49^2$$

   $$x_1=\frac{-31-49}{2}=-40$$

   $$x_2=\frac{-31+49}{2}=9$$

   Отрицательное значение не подходит. Значит, катеты равны $$9$$ см и $$40$$ см.

2. б) Пусть сторона квадратного листа картона равна $$a$$ см. После того как отрезали полоску шириной $$3$$ см, осталась прямоугольная часть со сторонами $$a$$ и $$a-3$$. Тогда:

   $$a(a-3)=70$$

   $$a^2-3a-70=0$$

   $$D=3^2+4\cdot 70=9+280=289=17^2$$

   $$a_1=\frac{3-17}{2}=-7$$

   $$a_2=\frac{3+17}{2}=10$$

   Отрицательное значение не подходит. Следовательно, первоначальные размеры листа картона: $$10\times 10$$ см.

3. а) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+5$$. После изменения получаем дробь

   $$\frac{x-2}{x+21}$$

   По условию она меньше исходной на $$\frac{1}{3}$$:

   $$\frac{x}{x+5}-\frac{x-2}{x+21}=\frac{1}{3}$$

   $$3x(x+21)-3(x-2)(x+5)=(x+5)(x+21)$$

   $$3x^2+63x-3x^2-9x+30=x^2+26x+105$$

   $$x^2-28x+75=0$$

   $$D=28^2-4\cdot 75=784-300=484=22^2$$

   $$x_1=\frac{28-22}{2}=3,\quad x_2=\frac{28+22}{2}=25$$

   При $$x=3$$ дробь равна $$\frac{3}{8}$$ и является несократимой. При $$x=25$$ дробь $$\frac{25}{30}$$ сокращается, поэтому не подходит.

4. б) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$. После изменения получаем дробь

   $$\frac{x+7}{x+8}$$

   По условию она больше исходной на $$\frac{1}{2}$$:

   $$\frac{x+7}{x+8}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}$$

   $$2(x+7)(x+3)-2x(x+8)=(x+8)(x+3)$$

   $$2x^2+20x+42-2x^2-16x=x^2+11x+24$$

   $$x^2+7x-18=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 18=49+72=121=11^2$$

   $$x_1=\frac{-7-11}{2}=-9$$

   $$x_2=\frac{-7+11}{2}=2$$

   Отрицательное значение не подходит. Тогда дробь равна $$\frac{2}{5}$$.

Ответ

а) $$9$$ см и $$40$$ см; б) $$10\times 10$$ см; а) $$\frac{3}{8}$$; б) $$\frac{2}{5}$$.