Упр.36.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
а) Площадь прямоугольного треугольника равна $$180\ \text{см}^2$$. Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на $$31\ \text{см}$$.
б) От квадратного листа картона отрезали полоску шириной $$3\ \text{см}$$. Площадь оставшейся части равна $$70\ \text{см}^2$$. Найдите первоначальные размеры листа картона.
Задание учебника 2019 года
а) Числитель несократимой обыкновенной дроби на $$5$$ меньше её знаменателя. Если числитель уменьшить на $$2$$, а знаменатель увеличить на $$16$$, то дробь уменьшится на $$\frac{1}{3}$$. Найдите эту дробь.
б) Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на $$3$$. Если к числителю прибавить $$7$$, а к знаменателю $$5$$, то дробь увеличится на $$\frac{1}{2}$$. Найдите эту дробь.
а) Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда другой — $$x+31$$ см. По формуле площади прямоугольного треугольника получаем:
$$\frac{1}{2}x(x+31)=180$$
$$x(x+31)=360$$
$$x^2+31x-360=0$$
$$D=31^2+4\cdot 360=961+1440=2401=49^2$$
$$x_1=\frac{-31-49}{2}=-40$$
$$x_2=\frac{-31+49}{2}=9$$
Отрицательное значение не подходит. Значит, катеты равны $$9$$ см и $$40$$ см.
б) Пусть сторона квадратного листа картона равна $$a$$ см. После того как отрезали полоску шириной $$3$$ см, осталась прямоугольная часть со сторонами $$a$$ и $$a-3$$. Тогда:
$$a(a-3)=70$$
$$a^2-3a-70=0$$
$$D=3^2+4\cdot 70=9+280=289=17^2$$
$$a_1=\frac{3-17}{2}=-7$$
$$a_2=\frac{3+17}{2}=10$$
Отрицательное значение не подходит. Следовательно, первоначальные размеры листа картона: $$10\times 10$$ см.
а) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+5$$. После изменения получаем дробь
$$\frac{x-2}{x+21}$$
По условию она меньше исходной на $$\frac{1}{3}$$:
$$\frac{x}{x+5}-\frac{x-2}{x+21}=\frac{1}{3}$$
$$3x(x+21)-3(x-2)(x+5)=(x+5)(x+21)$$
$$3x^2+63x-3x^2-9x+30=x^2+26x+105$$
$$x^2-28x+75=0$$
$$D=28^2-4\cdot 75=784-300=484=22^2$$
$$x_1=\frac{28-22}{2}=3,\quad x_2=\frac{28+22}{2}=25$$
При $$x=3$$ дробь равна $$\frac{3}{8}$$ и является несократимой. При $$x=25$$ дробь $$\frac{25}{30}$$ сокращается, поэтому не подходит.
б) Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$. После изменения получаем дробь
$$\frac{x+7}{x+8}$$
По условию она больше исходной на $$\frac{1}{2}$$:
$$\frac{x+7}{x+8}-\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}$$
$$2(x+7)(x+3)-2x(x+8)=(x+8)(x+3)$$
$$2x^2+20x+42-2x^2-16x=x^2+11x+24$$
$$x^2+7x-18=0$$
$$D=7^2+4\cdot 18=49+72=121=11^2$$
$$x_1=\frac{-7-11}{2}=-9$$
$$x_2=\frac{-7+11}{2}=2$$
Отрицательное значение не подходит. Тогда дробь равна $$\frac{2}{5}$$.
Ответ
а) $$9$$ см и $$40$$ см; б) $$10\times 10$$ см; а) $$\frac{3}{8}$$; б) $$\frac{2}{5}$$.
