Упр.36.16 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.
Решите уравнение:
а) v(3x + 4) = v(2x + 5); г) v(3x — 8) = v(5x — 12);
б) v(x^2 — 5) = v(3x — 5); д) v(5x + 6) = v(2x^2 — 1);
в) v(2x + 5) = x + 1; е) v(2x + 9) = x — 3.

Подробный ответ

а) Пусть три последовательных натуральных числа: $$x-1,\ x,\ x+1.$$ Тогда
$$ (x-1)^2+x^2+(x+1)^2=974 $$
$$ x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1=974 $$
$$ 3x^2+2=974 $$
$$ 3x^2=972,\quad x^2=324,\quad x=18 $$
Подходят числа $$17,\ 18,\ 19.$$
б) Пусть два последовательных натуральных числа: $$x,\ x+1.$$ Тогда
$$ x^2+(x+1)^2-x(x+1)=307 $$
$$ x^2+x+1=307 $$
$$ x^2+x-306=0 $$
$$ D=1+4\cdot 306=1225=35^2 $$
$$ x=\frac{-1\pm 35}{2} $$
Получаем $$x=17$$ или $$x=-18.$$ Отрицательное значение не подходит.
Значит, числа $$17$$ и $$18.$$
а) $$\sqrt{3x+4}=\sqrt{2x+5}$$
ОДЗ: $$3x+4\ge 0,\ 2x+5\ge 0,$$ значит $$x\ge -\frac43.$$
Возведём в квадрат:
$$ 3x+4=2x+5 $$
$$ x=1 $$
б) $$\sqrt{x^2-5}=\sqrt{3x-5}$$
ОДЗ: $$x^2-5\ge 0,\ 3x-5\ge 0,$$ откуда $$x\ge \frac53.$$
Возведём в квадрат:
$$ x^2-5=3x-5 $$
$$ x^2-3x=0 $$
$$ x(x-3)=0 $$
Из ОДЗ подходит только $$x=3.$$
в) $$\sqrt{2x+5}=x+1$$
ОДЗ: $$2x+5\ge 0,\ x+1\ge 0,$$ значит $$x\ge -1.$$
Возведём в квадрат:
$$ 2x+5=(x+1)^2 $$
$$ 2x+5=x^2+2x+1 $$
$$ x^2-4=0 $$
$$ x=\pm 2 $$
Из ОДЗ подходит только $$x=2.$$
г) $$\sqrt{3x-8}=\sqrt{5x-12}$$
ОДЗ: $$3x-8\ge 0,\ 5x-12\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac{12}{5}.$$
Возведём в квадрат:
$$ 3x-8=5x-12 $$
$$ 2x=4,\quad x=2 $$
Но $$2$$ не принадлежит ОДЗ, значит корней нет.
д) $$\sqrt{5x+6}=\sqrt{2x^2-1}$$
ОДЗ: $$5x+6\ge 0,\ 2x^2-1\ge 0.$$
Возведём в квадрат:
$$ 5x+6=2x^2-1 $$
$$ 2x^2-5x-7=0 $$
$$ D=25+56=81 $$
$$ x=\frac{5\pm 9}{4} $$
$$ x_1=\frac72,\quad x_2=-1 $$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
е) $$\sqrt{2x+9}=x-3$$
ОДЗ: $$2x+9\ge 0,\ x-3\ge 0,$$ значит $$x\ge 3.$$
Возведём в квадрат:
$$ 2x+9=(x-3)^2 $$
$$ 2x+9=x^2-6x+9 $$
$$ x^2-8x=0 $$
$$ x(x-8)=0 $$
Из ОДЗ подходит только $$x=8.$$