Упр.36.15 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) 16x^4 — 40x^2 + 9 = 0; г) 36x^4 — 25x^2 + 4 = 0;
б) 4x^4 + 35x^2 — 9 = 0; д) 4x^4 — 17x^2 + 4 = 0;
в) 4x^4 + 13x^2 + 9 = 0; е) 9x^4 + 20x^2 — 64 = 0. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) x(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 15;
б) x^2 + 1/x^2 + x + 1/x = 4;
в) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3;
г) 2 · (x^2 + 1/x^2) — 7 · (x + 1/x) + 9 = 0.
а) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$16t^2-40t+9=0.$$
$$D=1600-4\cdot 16\cdot 9=1024=32^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{40\pm 32}{2\cdot 16}.$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=\frac94.$$
Значит,
$$x^2=\frac14 \quad \text{или} \quad x^2=\frac94,$$
откуда
$$x=\pm \frac12,\quad x=\pm \frac32.$$
б) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$4t^2+35t-9=0.$$
$$D=35^2-4\cdot 4\cdot (-9)=1369=37^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{-35\pm 37}{2\cdot 4}.$$
$$t_1=-9,\quad t_2=\frac14.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2=-9$$ не подходит. Остаётся
$$x^2=\frac14,$$
значит,
$$x=\pm \frac12.$$
в) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$4t^2+13t+9=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25=5^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{-13\pm 5}{2\cdot 4}.$$
$$t_1=-\frac94,\quad t_2=-1.$$
Оба значения отрицательны, поэтому действительных корней нет.
г) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$36t^2-25t+4=0.$$
$$D=25^2-4\cdot 36\cdot 4=49=7^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{25\pm 7}{2\cdot 36}.$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=\frac49.$$
Следовательно,
$$x=\pm \frac12,\quad x=\pm \frac23.$$
д) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$4t^2-17t+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225=15^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2\cdot 4}.$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=4.$$
Значит,
$$x=\pm \frac12,\quad x=\pm 2.$$
е) Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$9t^2+20t-64=0.$$
$$D=20^2-4\cdot 9\cdot (-64)=2704=52^2.$$
$$t_{1,2}=\frac{-20\pm 52}{2\cdot 9}.$$
$$t_1=-4,\quad t_2=\frac{16}{9}.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то остаётся
$$x^2=\frac{16}{9},$$
откуда
$$x=\pm \frac43.$$
а) Преобразуем произведение:
$$x(x-1)(x-2)(x-3)=15$$
$$\bigl(x(x-3)\bigr)\bigl((x-1)(x-2)\bigr)=15.$$
Пусть $$x^2-3x=y.$$ Тогда
$$x^2-3x+2=y+2,$$
и получаем
$$y(y+2)=15.$$
$$y^2+2y-15=0.$$
$$D=4+60=64.$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
$$y_1=-5,\quad y_2=3.$$
1) Если $$x^2-3x=-5,$$ то
$$x^2-3x+5=0,$$
$$D=9-20<0,$$
корней нет.
2) Если $$x^2-3x=3,$$ то
$$x^2-3x-3=0,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}.$$
б) Обозначим
$$x+\frac1x=y,\quad x\ne 0.$$
Тогда
$$x^2+\frac1{x^2}=y^2-2.$$
Подставим в уравнение:
$$\left(y^2-2\right)+y=4,$$
$$y^2+y-6=0.$$
$$D=1+24=25.$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
$$y_1=-3,\quad y_2=2.$$
1) Если $$x+\frac1x=-3,$$ то
$$x^2+3x+1=0,$$
$$D=9-4=5,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt5}{2}.$$
2) Если $$x+\frac1x=2,$$ то
$$x^2-2x+1=0,$$
$$x=1.$$
в) Сгруппируем множители:
$$ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3 $$
$$ \bigl((x+1)(x+4)\bigr)\bigl((x+2)(x+3)\bigr)=3.$$
Пусть $$x^2+5x+4=y.$$ Тогда
$$x^2+5x+6=y+2,$$
и получаем
$$y(y+2)=3.$$
$$y^2+2y-3=0.$$
$$D=4+12=16.$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
$$y_1=-3,\quad y_2=1.$$
1) Если $$x^2+5x+4=-3,$$ то
$$x^2+5x+7=0,$$
$$D=25-28<0,$$
корней нет.
2) Если $$x^2+5x+4=1,$$ то
$$x^2+5x+3=0,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}.$$
г) Обозначим
$$x+\frac1x=y,\quad x\ne 0.$$
Тогда
$$x^2+\frac1{x^2}=y^2-2.$$
Подставим:
$$2(y^2-2)-7y+9=0,$$
$$2y^2-7y+5=0.$$
$$D=49-40=9.$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 3}{4}.$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac52.$$
1) Если $$x+\frac1x=1,$$ то
$$x^2-x+1=0,$$
$$D=1-4<0,$$
корней нет.
2) Если $$x+\frac1x=\frac52,$$ то
$$2x^2+2=5x,$$
$$2x^2-5x+2=0.$$
$$D=25-16=9.$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$
Ответ
а) $$x=\pm \frac12,\ \pm \frac32$$;
б) $$x=\pm \frac12$$;
в) корней нет;
г) $$x=\pm \frac12,\ \pm \frac23$$;
д) $$x=\pm \frac12,\ \pm 2$$;
е) $$x=\pm \frac43$$;
а) $$x=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}$$;
б) $$x=\frac{-3\pm \sqrt5}{2},\ 1$$;
в) $$x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$$;
г) $$x=\frac12,\ 2$$.
