Упр.36.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) x^4 — 8x^2 + 16 = 0; г) x^4 — 10x^2 + 25 = 0;
б) x^4 — 17x^2 + 16 = 0; д) x^4 + 5x^2 — 36 = 0;
в) 4x^4 — 37x^2 + 9 = 0; е) 9x^4 + 32x^2 — 16 = 0. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) (x + 1)^2 (x^2 + 2x) — 12 = 0;
б) (x^2 — x)/(x^2 — x + 1) — (x^2 -x + 2)/(x^2 — x — 2) = 1;
в) (x — 2)^2 (x^2 — 4x) + 3 = 0;
г) 1/(x^2 — 3x + 3) + 2/(x^2 — 3x + 4) = 6/(x^2 — 3x + 5).
а) $$x^4-8x^2+16=0$$
$$\left(x^2-4\right)^2=0$$
$$x^2-4=0$$
$$x=\pm 2$$
б) $$x^4-17x^2+16=0$$
Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$t^2-17t+16=0$$
$$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225$$
$$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=16$$
Значит,
$$x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=16$$
$$x=\pm 1,\quad x=\pm 4$$
в) $$4x^4-37x^2+9=0$$
Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$4t^2-37t+9=0$$
$$D=37^2-4\cdot 4\cdot 9=1369-144=1225$$
$$t_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=\frac14 \quad \text{или} \quad x^2=9$$
$$x=\pm \frac12,\quad x=\pm 3$$
г) $$x^4-10x^2+25=0$$
$$\left(x^2-5\right)^2=0$$
$$x^2-5=0$$
$$x=\pm \sqrt5$$
д) $$x^4+5x^2-36=0$$
Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$t^2+5t-36=0$$
$$D=5^2+4\cdot 36=25+144=169$$
$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2}$$
$$t_1=-9,\quad t_2=4$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$x^2=-9$$ не подходит. Остаётся
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
е) $$9x^4+32x^2-16=0$$
Пусть $$x^2=t$$, тогда
$$9t^2+32t-16=0$$
$$D=32^2+4\cdot 9\cdot 16=1024+576=1600$$
$$t_{1,2}=\frac{-32\pm 40}{18}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=\frac49$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$x^2=-4$$ не подходит. Тогда
$$x^2=\frac49$$
$$x=\pm \frac23$$
а) $$(x+1)^2(x^2+2x)-12=0$$
Заметим, что $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$. Пусть $$x^2+2x=y$$, тогда
$$(y+1)y-12=0$$
$$y^2+y-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$y_1=-4,\quad y_2=3$$
Если $$x^2+2x=-4$$, то
$$x^2+2x+4=0$$
$$D=4-16=-12<0$$
Корней нет.
Если $$x^2+2x=3$$, то
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
б) $$\frac{x^2-x}{x^2-x+1}-\frac{x^2-x+2}{x^2-x-2}=1$$
Пусть $$x^2-x=y$$, тогда
$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1$$
$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}-1=0$$
$$\frac{y(y-2)-(y+2)(y+1)-(y+1)(y-2)}{(y+1)(y-2)}=0$$
$$-y^2-4y=0$$
$$-y(y+4)=0$$
$$y_1=0,\quad y_2=-4$$
Если $$x^2-x=0$$, то
$$x(x-1)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1$$
Если $$x^2-x=-4$$, то
$$x^2-x+4=0$$
$$D=1-16=-15<0$$
Корней нет.
в) $$(x-2)^2(x^2-4x)+3=0$$
Заметим, что $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$. Пусть $$x^2-4x=y$$, тогда
$$y(y+4)+3=0$$
$$y^2+4y+3=0$$
$$\left(y+1\right)\left(y+3\right)=0$$
$$y_1=-1,\quad y_2=-3$$
Если $$x^2-4x=-1$$, то
$$x^2-4x+1=0$$
$$D=16-4=12$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt3$$
Если $$x^2-4x=-3$$, то
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
г) $$\frac{1}{x^2-3x+3}+\frac{2}{x^2-3x+4}=\frac{6}{x^2-3x+5}$$
Пусть $$x^2-3x+3=y$$, тогда
$$\frac{1}{y}+\frac{2}{y+1}=\frac{6}{y+2}$$
$$\frac{1}{y}+\frac{2}{y+1}-\frac{6}{y+2}=0$$
$$\frac{(y+1)(y+2)+2y(y+2)-6y(y+1)}{y(y+1)(y+2)}=0$$
$$-3y^2+y+2=0$$
$$3y^2-y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}$$
$$y_1=-\frac23,\quad y_2=1$$
Если $$x^2-3x+3=-\frac23$$, то
$$3x^2-9x+11=0$$
$$D=81-132=-51<0$$
Корней нет.
Если $$x^2-3x+3=1$$, то
$$x^2-3x+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=2$$
Ответ
а) $$x=\pm 2$$; б) $$x=\pm 1,\ \pm 4$$; в) $$x=\pm \frac12,\ \pm 3$$; г) $$x=\pm \sqrt5$$; д) $$x=\pm 2$$; е) $$x=\pm \frac23$$; а) $$x=-3,\ 1$$; б) $$x=0,\ 1$$; в) $$x=2-\sqrt3,\ 2+\sqrt3,\ 1,\ 3$$; г) $$x=1,\ 2$$.
