Упр.36.13 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2 + 5x — (6|x|)/x = 0; г) x^2 + 5x^2/|x| — 6 = 0;
б) x^3/|x| — 7x + 12 = 0; д) x · |x| + 7x + 12 = 0;
в) x · |x| — 2x — 15 = 0; е) x^2 — 2x — 15x/|x| = 0. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) 56 — 15x^(-1) + x^(-2) = 0;
б) 9(x — 1)^(-2) — 6(x — 1)^(-1) + 1 = 0;
в) 35 — 12x^(-1) + x^(-2) = 0;
г) 25(x — 5)^(-2) + 10(x — 5)^(-1) + 1 = 0.

Подробный ответ

а) $$x^2+5x-\frac{6|x|}{x}=0.$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x$$, и получаем
$$x^2+5x-6=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1.$$
Подходит только $$x=1.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$, и получаем
$$x^2+5x+6=0,$$
$$D=25-24=1,$$
$$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2.$$
Оба корня подходят.
б) $$\frac{x^3}{|x|}-7x+12=0.$$
Если $$x>0,$$ то $$\frac{x^3}{|x|}=x^2,$$ и
$$x^2-7x+12=0,$$
$$D=49-48=1,$$
$$x_1=3,\quad x_2=4.$$
Оба корня подходят.
Если $$x<0,$$ то $$\frac{x^3}{|x|}=-x^2,$$ и
$$-x^2-7x+12=0,$$
$$x^2+7x-12=0,$$
$$D=49+48=97,$$
$$x=\frac{-7\pm\sqrt{97}}{2}.$$
Из них подходит только $$x=\frac{-7-\sqrt{97}}{2}.$$
в) $$x\cdot|x|-2x-15=0.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2-2x-15=0,$$
$$D=4+60=64,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=5.$$
Подходит только $$x=5.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x^2-2x-15=0,$$
$$x^2+2x+15=0,$$
$$D=4-60<0,$$
корней нет.
г) $$x^2+\frac{5x^2}{|x|}-6=0.$$
Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2+5x-6=0,$$
$$D=49,$$
$$x_1=-6,\quad x_2=1.$$
Подходит только $$x=1.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$x^2-5x-6=0,$$
$$D=49,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=6.$$
Подходит только $$x=-1.$$
д) $$x\cdot|x|+7x+12=0.$$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x^2+7x+12=0,$$
$$D=1,$$
$$x_1=-4,\quad x_2=-3.$$
Оба корня не подходят.
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x^2+7x+12=0,$$
$$x^2-7x-12=0,$$
$$D=97,$$
$$x=\frac{7\pm\sqrt{97}}{2}.$$
Подходит только $$x=\frac{7-\sqrt{97}}{2}.$$
е) $$x^2-2x-\frac{15x}{|x|}=0.$$
Если $$x>0,$$ то $$\frac{x}{|x|}=1,$$ и
$$x^2-2x-15=0,$$
$$D=64,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=5.$$
Подходит только $$x=5.$$
Если $$x<0,$$ то $$\frac{x}{|x|}=-1,$$ и
$$x^2-2x+15=0,$$
$$D=4-60<0,$$
корней нет.

Ответ

а) $$x=-3,\,-2,\,1$$; б) $$x=\frac{-7-\sqrt{97}}{2},\,3,\,4$$; в) $$x=5$$; г) $$x=-1,\,1$$; д) $$x=\frac{7-\sqrt{97}}{2}$$; е) $$x=5$$.

Ход решения

а) $$56-15x^{-1}+x^{-2}=0.$$
Пусть $$x^{-1}=y,$$ тогда
$$y^2-15y+56=0,$$
$$D=1,$$
$$y_1=7,\quad y_2=8.$$
Значит,
$$x=\frac17,\quad x=\frac18.$$
б) $$9(x-1)^{-2}-6(x-1)^{-1}+1=0.$$
Пусть $$ (x-1)^{-1}=y,$$ тогда
$$9y^2-6y+1=0,$$
$$\left(3y-1\right)^2=0,$$
$$y=\frac13.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-1}=\frac13,$$
$$x-1=3,$$
$$x=4.$$
в) $$35-12x^{-1}+x^{-2}=0.$$
Пусть $$x^{-1}=y,$$ тогда
$$y^2-12y+35=0,$$
$$D=4,$$
$$y_1=5,\quad y_2=7.$$
Следовательно,
$$x=\frac15,\quad x=\frac17.$$
г) $$25(x-5)^{-2}+10(x-5)^{-1}+1=0.$$
Пусть $$ (x-5)^{-1}=y,$$ тогда
$$25y^2+10y+1=0,$$
$$\left(5y+1\right)^2=0,$$
$$y=-\frac15.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-5}=-\frac15,$$
$$x-5=-5,$$
$$x=0.$$