Упр.36.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2 + (vx)^2 — 2 = 0; г) x^2 — 3(vx)^2 — 4 = 0;
б) x^2 + (v(x — 2))^2 = 4; д) x^2 + (v(x + 3))^2 = 15;
в) x^2 — 3(v(x-1))^2 — 7 = 0; е) x^2 — (v(-3 — x))^2 — 15 = 0. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) (x^2 — 4x)^2 — 8(x^2 — 4x) — 48 = 0;
б) (x^2 + 3)^2 — 16(x^2 + 3) + 48 = 0;
в) (x^2 + 2x)^2 — 7(x^2 + 2x) — 8 = 0;
г) (x^2 + 2)^2 — 9(x^2 + 2) + 18 = 0.

Подробный ответ

а) $$x^2+(\sqrt{x})^2-2=0,$$ $$x\ge 0.$$
Получаем:
$$x^2+x-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
$$x_1=-2 \text{ не подходит, так как } x\ge 0,$$ $$x_2=1.$$
б) $$x^2+(\sqrt{x-2})^2=4,$$ $$x\ge 2.$$
$$x^2+x-2=4,$$
$$x^2+x-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-3 \text{ не подходит, так как } x\ge 2,$$ $$x_2=2.$$
в) $$x^2-3(\sqrt{x-1})^2-7=0,$$ $$x\ge 1.$$
$$x^2-3(x-1)-7=0,$$
$$x^2-3x-4=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-1 \text{ не подходит, так как } x\ge 1,$$ $$x_2=4.$$
г) $$x^2-3(\sqrt{x})^2-4=0,$$ $$x\ge 0.$$
$$x^2-3x-4=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$
$$x_1=-1 \text{ не подходит, так как } x\ge 0,$$ $$x_2=4.$$
д) $$x^2+(\sqrt{x+3})^2=15,$$ $$x\ge -3.$$
$$x^2+x+3=15,$$
$$x^2+x-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
$$x_1=-4 \text{ не подходит, так как } x\ge -3,$$ $$x_2=3.$$
е) $$x^2-(\sqrt{-3-x})^2-15=0,$$ $$-3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le -3.$$
$$x^2-(-3-x)-15=0,$$
$$x^2+x-12=0.$$
$$D=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
$$x_1=-4,$$ $$x_2=3 \text{ не подходит, так как } x\le -3.$$

Ход решения

а) Пусть $$x^2-4x=y.$$ Тогда
$$y^2-8y-48=0.$$
$$D=64+192=256,$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 16}{2}.$$
$$y_1=-4,\quad y_2=12.$$
Если $$x^2-4x=-4,$$ то
$$x^2-4x+4=0,$$
$$ (x-2)^2=0,$$ $$x=2.$$
Если $$x^2-4x=12,$$ то
$$x^2-4x-12=0,$$
$$D=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}.$$
$$x_1=-2,\quad x_2=6.$$
б) Пусть $$x^2+3=y.$$ Тогда
$$y^2-16y+48=0.$$
$$D=256-192=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}.$$
$$y_1=4,\quad y_2=12.$$
Если $$x^2+3=4,$$ то
$$x^2=1,$$ $$x=\pm 1.$$
Если $$x^2+3=12,$$ то
$$x^2=9,$$ $$x=\pm 3.$$
в) Пусть $$x^2+2x=y.$$ Тогда
$$y^2-7y-8=0.$$
$$D=49+32=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2}.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=8.$$
Если $$x^2+2x=-1,$$ то
$$x^2+2x+1=0,$$
$$ (x+1)^2=0,$$ $$x=-1.$$
Если $$x^2+2x=8,$$ то
$$x^2+2x-8=0,$$
$$D=4+32=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$
г) Пусть $$x^2+2=y.$$ Тогда
$$y^2-9y+18=0.$$
$$D=81-72=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2}.$$
$$y_1=3,\quad y_2=6.$$
Если $$x^2+2=3,$$ то
$$x^2=1,$$ $$x=\pm 1.$$
Если $$x^2+2=6,$$ то
$$x^2=4,$$ $$x=\pm 2.$$