Упр.36.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x^2 — 3)/2 = (2x — 1)/3;
б) (2x^2 + x)/5 = (4x — 2)/3;
в) (4x^2 + x)/3 — (5x — 1)/6 = (x^2 + 17)/9;
г) (4x^2 + x)/5 + (x + 3)/10 = (25 — 4x^2)/15. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
а) (3x + 2)^2 — 6(3x + 2) + 8 = 0;
б) 3(2x — 3)^2 — 10(2x — 3) + 3 = 0;
в) (4x — 1)^2 — 6(4x — 1) — 7 = 0;
г) 3(5x + 4)^2 + 4(5x + 4) + 1 = 0.

1. а)

   $$\frac{x^2-3}{2}=\frac{2x-1}{3}$$
   $$3(x^2-3)=2(2x-1)$$
   $$3x^2-9=4x-2$$
   $$3x^2-4x-7=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$$
   $$x=\frac{4\pm 10}{6}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{7}{3}$$

2. б)

   $$\frac{2x^2+x}{5}=\frac{4x-2}{3}$$
   $$3(2x^2+x)=5(4x-2)$$
   $$6x^2+3x=20x-10$$
   $$6x^2-17x+10=0$$
   $$D=(-17)^2-4\cdot 6\cdot 10=289-240=49$$
   $$x=\frac{17\pm 7}{12}$$
   $$x_1=\frac{5}{6},\quad x_2=2$$

3. в)

   $$\frac{4x^2+x}{3}-\frac{5x-1}{6}=\frac{x^2+17}{9}$$
   $$18\left(\frac{4x^2+x}{3}-\frac{5x-1}{6}\right)=18\cdot \frac{x^2+17}{9}$$
   $$6(4x^2+x)-3(5x-1)=2(x^2+17)$$
   $$24x^2+6x-15x+3=2x^2+34$$
   $$22x^2-9x-31=0$$
   $$D=(-9)^2-4\cdot 22\cdot(-31)=81+2728=2809$$
   $$x=\frac{9\pm 53}{44}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{31}{22}$$

4. г)

   $$\frac{4x^2+x}{5}+\frac{x+3}{10}=\frac{25-4x^2}{15}$$
   $$30\left(\frac{4x^2+x}{5}+\frac{x+3}{10}\right)=30\cdot \frac{25-4x^2}{15}$$
   $$6(4x^2+x)+3(x+3)=2(25-4x^2)$$
   $$24x^2+6x+3x+9=50-8x^2$$
   $$32x^2+9x-41=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 32\cdot(-41)=81+5248=5329$$
   $$x=\frac{-9\pm 73}{64}$$
   $$x_1=-\frac{41}{32},\quad x_2=1$$

5. а)

   Пусть $$3x+2=y$$, тогда
   $$y^2-6y+8=0$$
   $$D=36-32=4$$
   $$y=\frac{6\pm 2}{2}$$
   $$y_1=2,\quad y_2=4$$
   Тогда
   $$3x+2=2 \Rightarrow x=0$$
   $$3x+2=4 \Rightarrow x=\frac{2}{3}$$

6. б)

   Пусть $$2x-3=y$$, тогда
   $$3y^2-10y+3=0$$
   $$D=100-36=64$$
   $$y=\frac{10\pm 8}{6}$$
   $$y_1=\frac{1}{3},\quad y_2=3$$
   Тогда
   $$2x-3=\frac{1}{3} \Rightarrow 2x=\frac{10}{3} \Rightarrow x=\frac{5}{3}$$
   $$2x-3=3 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$$

7. в)

   Пусть $$4x-1=y$$, тогда
   $$y^2-6y-7=0$$
   $$D=36+28=64$$
   $$y=\frac{6\pm 8}{2}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=7$$
   Тогда
   $$4x-1=-1 \Rightarrow x=0$$
   $$4x-1=7 \Rightarrow x=2$$

8. г)

   Пусть $$5x+4=y$$, тогда
   $$3y^2+4y+1=0$$
   $$D=16-12=4$$
   $$y=\frac{-4\pm 2}{6}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=-\frac{1}{3}$$
   Тогда
   $$5x+4=-1 \Rightarrow x=-1$$
   $$5x+4=-\frac{1}{3} \Rightarrow 5x=-\frac{13}{3} \Rightarrow x=-\frac{13}{15}$$

Ответ

а) $$x=-1,\ \frac{7}{3}$$; б) $$x=\frac{5}{6},\ 2$$; в) $$x=-1,\ \frac{31}{22}$$; г) $$x=-\frac{41}{32},\ 1$$; а) $$x=0,\ \frac{2}{3}$$; б) $$x=\frac{5}{3},\ 3$$; в) $$x=0,\ 2$$; г) $$x=-1,\ -\frac{13}{15}$$.