Упр.36.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{x^2-3}{2}=\frac{2x-1}{3}$$;
   б) $$\frac{2x^2+x}{5}=\frac{4x-2}{3}$$;
   в) $$\frac{4x^2+x}{3}-\frac{5x-1}{6}=\frac{x^2+17}{9}$$;
   г) $$\frac{4x^2+x}{5}+\frac{x+3}{10}=\frac{25-4x^2}{15}$$.
2. Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:
   а) $$(3x+2)^2-6(3x+2)+8=0$$;
   б) $$3(2x-3)^2-10(2x-3)+3=0$$;
   в) $$(4x-1)^2-6(4x-1)-7=0$$;
   г) $$3(5x+4)^2+4(5x+4)+1=0$$.

1. а)

   $$\frac{x^2-3}{2}=\frac{2x-1}{3}$$
   $$3(x^2-3)=2(2x-1)$$
   $$3x^2-9=4x-2$$
   $$3x^2-4x-7=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-7)=16+84=100$$
   $$x=\frac{4\pm 10}{6}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{7}{3}$$

2. б)

   $$\frac{2x^2+x}{5}=\frac{4x-2}{3}$$
   $$3(2x^2+x)=5(4x-2)$$
   $$6x^2+3x=20x-10$$
   $$6x^2-17x+10=0$$
   $$D=(-17)^2-4\cdot 6\cdot 10=289-240=49$$
   $$x=\frac{17\pm 7}{12}$$
   $$x_1=\frac{5}{6},\quad x_2=2$$

3. в)

   $$\frac{4x^2+x}{3}-\frac{5x-1}{6}=\frac{x^2+17}{9}$$
   $$18\left(\frac{4x^2+x}{3}-\frac{5x-1}{6}\right)=18\cdot \frac{x^2+17}{9}$$
   $$6(4x^2+x)-3(5x-1)=2(x^2+17)$$
   $$24x^2+6x-15x+3=2x^2+34$$
   $$22x^2-9x-31=0$$
   $$D=(-9)^2-4\cdot 22\cdot(-31)=81+2728=2809$$
   $$x=\frac{9\pm 53}{44}$$
   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{31}{22}$$

4. г)

   $$\frac{4x^2+x}{5}+\frac{x+3}{10}=\frac{25-4x^2}{15}$$
   $$30\left(\frac{4x^2+x}{5}+\frac{x+3}{10}\right)=30\cdot \frac{25-4x^2}{15}$$
   $$6(4x^2+x)+3(x+3)=2(25-4x^2)$$
   $$24x^2+6x+3x+9=50-8x^2$$
   $$32x^2+9x-41=0$$
   $$D=9^2-4\cdot 32\cdot(-41)=81+5248=5329$$
   $$x=\frac{-9\pm 73}{64}$$
   $$x_1=-\frac{41}{32},\quad x_2=1$$

5. а)

   Пусть $$3x+2=y$$, тогда
   $$y^2-6y+8=0$$
   $$D=36-32=4$$
   $$y=\frac{6\pm 2}{2}$$
   $$y_1=2,\quad y_2=4$$
   Тогда
   $$3x+2=2 \Rightarrow x=0$$
   $$3x+2=4 \Rightarrow x=\frac{2}{3}$$

6. б)

   Пусть $$2x-3=y$$, тогда
   $$3y^2-10y+3=0$$
   $$D=100-36=64$$
   $$y=\frac{10\pm 8}{6}$$
   $$y_1=\frac{1}{3},\quad y_2=3$$
   Тогда
   $$2x-3=\frac{1}{3} \Rightarrow 2x=\frac{10}{3} \Rightarrow x=\frac{5}{3}$$
   $$2x-3=3 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$$

7. в)

   Пусть $$4x-1=y$$, тогда
   $$y^2-6y-7=0$$
   $$D=36+28=64$$
   $$y=\frac{6\pm 8}{2}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=7$$
   Тогда
   $$4x-1=-1 \Rightarrow x=0$$
   $$4x-1=7 \Rightarrow x=2$$

8. г)

   Пусть $$5x+4=y$$, тогда
   $$3y^2+4y+1=0$$
   $$D=16-12=4$$
   $$y=\frac{-4\pm 2}{6}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=-\frac{1}{3}$$
   Тогда
   $$5x+4=-1 \Rightarrow x=-1$$
   $$5x+4=-\frac{1}{3} \Rightarrow 5x=-\frac{13}{3} \Rightarrow x=-\frac{13}{15}$$

Ответ

а) $$x=-1,\ \frac{7}{3}$$; б) $$x=\frac{5}{6},\ 2$$; в) $$x=-1,\ \frac{31}{22}$$; г) $$x=-\frac{41}{32},\ 1$$; а) $$x=0,\ \frac{2}{3}$$; б) $$x=\frac{5}{3},\ 3$$; в) $$x=0,\ 2$$; г) $$x=-1,\ -\frac{13}{15}$$.