Упр.35.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{x-5}{x-2}=\frac{x+5}{x+2}, \quad x\ne \pm 2.$$

   Перемножим крест-накрест:

   $$(x-5)(x+2)=(x+5)(x-2)$$

   $$x^2-3x-10=x^2+3x-10$$

   $$-6x=0 \Rightarrow x=0$$

2. б) $$\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}, \quad x\ne \pm 3.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(x-3)^2+(x+3)^2}{x^2-9}=\frac{10}{3}$$

   $$\frac{2x^2+18}{x^2-9}=\frac{10}{3}$$

   $$3(2x^2+18)=10(x^2-9)$$

   $$6x^2+54=10x^2-90$$

   $$4x^2=144 \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=\pm 6$$

3. в) $$\frac{3x-4}{3x+4}+\frac{3x+4}{3x-4}=4{,}5=\frac{9}{2}, \quad x\ne \pm \frac{4}{3}.$$

   $$\frac{(3x-4)^2+(3x+4)^2}{(3x-4)(3x+4)}=\frac{9}{2}$$

   $$\frac{18x^2+32}{9x^2-16}=\frac{9}{2}$$

   $$2(18x^2+32)=9(9x^2-16)$$

   $$36x^2+64=81x^2-144$$

   $$45x^2=208 \Rightarrow x^2=\frac{208}{45}$$

   $$x=\pm \sqrt{\frac{208}{45}}=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}}$$

4. г) $$\frac{x-4}{x+7}=\frac{x+4}{x-7}, \quad x\ne \pm 7.$$

   $$(x-4)(x-7)=(x+4)(x+7)$$

   $$x^2-11x+28=x^2+11x+28$$

   $$-22x=0 \Rightarrow x=0$$

5. д) $$\frac{3x+1}{3x-1}+\frac{3x-1}{3x+1}=2{,}5=\frac{5}{2}, \quad x\ne \pm \frac{1}{3}.$$

   $$\frac{(3x+1)^2+(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}=\frac{5}{2}$$

   $$\frac{18x^2+2}{9x^2-1}=\frac{5}{2}$$

   $$2(18x^2+2)=5(9x^2-1)$$

   $$36x^2+4=45x^2-5$$

   $$9x^2=9 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$$

6. е) $$\frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}, \quad x\ne \pm \frac{3}{2}.$$

   $$\frac{(2x-3)^2+(2x+3)^2}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{4}{3}$$

   $$\frac{8x^2+18}{4x^2-9}=\frac{4}{3}$$

   $$3(8x^2+18)=4(4x^2-9)$$

   $$24x^2+54=16x^2-36$$

   $$8x^2+90=0$$

   Действительных корней нет.

7. а) Для уравнения $$x^2-(p^2-1)x+7p=0$$ сумма корней равна $$p^2-1$$.

   По условию среднее арифметическое корней равно $$4$$, значит их сумма равна $$8$$:

   $$p^2-1=8 \Rightarrow p^2=9 \Rightarrow p=\pm 3$$

   Проверим:

   при $$p=3$$ получаем $$x^2-8x+21=0$$, корней нет;

   при $$p=-3$$ получаем $$x^2-8x-21=0$$, корни есть.

8. б) Для уравнения $$x^2-27x+3p+144=0$$ сумма корней равна $$27$$.

   Пусть корни $$x_1$$ и $$x_2$$, причём

   $$\frac{x_1+9}{2}=x_2$$

   Тогда

   $$x_1+9=2x_2 \Rightarrow x_1=2x_2-9$$

   Из суммы корней:

   $$x_1+x_2=27$$

   Подставим:

   $$2x_2-9+x_2=27$$

   $$3x_2=36 \Rightarrow x_2=12,\quad x_1=15$$

   Подставим в уравнение:

   $$15^2-27\cdot 15+3p+144=0$$

   $$225-405+3p+144=0$$

   $$3p=36 \Rightarrow p=12$$

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=\pm 6$$; в) $$x=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}}$$; г) $$x=0$$; д) $$x=\pm 1$$; е) корней нет; а) $$p=-3$$; б) $$p=12$$.