Упр.35.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) (x — 5)/(x — 2) = (x + 5)/(x + 2);
б) (x — 3)/(x + 3) + (x + 3)/(x — 3) = 3 1/3;
в) (3x — 4)/(3x + 4) + (3x + 4)/(3x — 4) = 4,5;
г) (x — 4)/(x + 7) = (x + 4)/(x — 7);
д) (3x + 1)/(3x — 1) + (3x — 1)/(3x + 1) = 2,5;
е) (2x — 3)/(2x + 3) + (2x + 3)/(2x — 3) = 1 1/3. а) При каких значениях параметра р среднее арифметическое корней уравнения х^2 — (р^2 — 1)х + 7р = 0 равно 4?
б) При каких значениях параметра р среднее арифметическое числа 9 и одного из корней уравнения x^2 — 27х + 3р + 144 = 0 равно другому корню?

1. а) $$\frac{x-5}{x-2}=\frac{x+5}{x+2}, \quad x\ne \pm 2.$$

   Перемножим крест-накрест:

   $$ (x-5)(x+2)=(x+5)(x-2) $$

   $$ x^2-3x-10=x^2+3x-10 $$

   $$ -6x=0 \Rightarrow x=0 $$

2. б) $$\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+3}{x-3}=3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}, \quad x\ne \pm 3.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(x-3)^2+(x+3)^2}{x^2-9}=\frac{10}{3} $$

   $$ \frac{2x^2+18}{x^2-9}=\frac{10}{3} $$

   $$ 3(2x^2+18)=10(x^2-9) $$

   $$ 6x^2+54=10x^2-90 $$

   $$ 4x^2=144 \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=\pm 6 $$

3. в) $$\frac{3x-4}{3x+4}+\frac{3x+4}{3x-4}=4{,}5=\frac{9}{2}, \quad x\ne \pm \frac{4}{3}.$$

   $$ \frac{(3x-4)^2+(3x+4)^2}{(3x-4)(3x+4)}=\frac{9}{2} $$

   $$ \frac{18x^2+32}{9x^2-16}=\frac{9}{2} $$

   $$ 2(18x^2+32)=9(9x^2-16) $$

   $$ 36x^2+64=81x^2-144 $$

   $$ 45x^2=208 \Rightarrow x^2=\frac{208}{45} $$

   $$ x=\pm \sqrt{\frac{208}{45}}=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}} $$

4. г) $$\frac{x-4}{x+7}=\frac{x+4}{x-7}, \quad x\ne \pm 7.$$

   $$ (x-4)(x-7)=(x+4)(x+7) $$

   $$ x^2-11x+28=x^2+11x+28 $$

   $$ -22x=0 \Rightarrow x=0 $$

5. д) $$\frac{3x+1}{3x-1}+\frac{3x-1}{3x+1}=2{,}5=\frac{5}{2}, \quad x\ne \pm \frac{1}{3}.$$

   $$ \frac{(3x+1)^2+(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}=\frac{5}{2} $$

   $$ \frac{18x^2+2}{9x^2-1}=\frac{5}{2} $$

   $$ 2(18x^2+2)=5(9x^2-1) $$

   $$ 36x^2+4=45x^2-5 $$

   $$ 9x^2=9 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 $$

6. е) $$\frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}, \quad x\ne \pm \frac{3}{2}.$$

   $$ \frac{(2x-3)^2+(2x+3)^2}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{4}{3} $$

   $$ \frac{8x^2+18}{4x^2-9}=\frac{4}{3} $$

   $$ 3(8x^2+18)=4(4x^2-9) $$

   $$ 24x^2+54=16x^2-36 $$

   $$ 8x^2+90=0 $$

   Действительных корней нет.

7. а) Для уравнения $$x^2-(p^2-1)x+7p=0$$ сумма корней равна $$p^2-1$$.

   По условию среднее арифметическое корней равно $$4$$, значит их сумма равна $$8$$:

   $$ p^2-1=8 \Rightarrow p^2=9 \Rightarrow p=\pm 3 $$

   Проверим:

   при $$p=3$$ получаем $$x^2-8x+21=0$$, корней нет;

   при $$p=-3$$ получаем $$x^2-8x-21=0$$, корни есть.

8. б) Для уравнения $$x^2-27x+3p+144=0$$ сумма корней равна $$27$$.

   Пусть корни $$x_1$$ и $$x_2$$, причём

   $$ \frac{x_1+9}{2}=x_2 $$

   Тогда

   $$ x_1+9=2x_2 \Rightarrow x_1=2x_2-9 $$

   Из суммы корней:

   $$ x_1+x_2=27 $$

   Подставим:

   $$ 2x_2-9+x_2=27 $$

   $$ 3x_2=36 \Rightarrow x_2=12,\quad x_1=15 $$

   Подставим в уравнение:

   $$ 15^2-27\cdot 15+3p+144=0 $$

   $$ 225-405+3p+144=0 $$

   $$ 3p=36 \Rightarrow p=12 $$

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=\pm 6$$; в) $$x=\pm \frac{4}{3}\sqrt{\frac{13}{5}}$$; г) $$x=0$$; д) $$x=\pm 1$$; е) корней нет; а) $$p=-3$$; б) $$p=12$$.