Упр.35.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$x^2+6x+9=0$$;
г) $$x^2-12x+36=0$$;
б) $$4x^2+28x+49=0$$;
д) $$9x^2-30x+25=0$$;
в) $$x^2-8x+15=0$$;
е) $$x^2+9x+14=0$$.
Докажите, что не существует такого значения параметра $$p$$, при котором:
а) уравнение $$x^2-px+p-2=0$$ имеет только один корень;
б) уравнение $$x^2-4px+p-6=0$$ не имеет решений.

Подробный ответ

а) $$x^2+6x+9=0$$
$$\left(x+3\right)^2=0$$
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
б) $$4x^2+28x+49=0$$
$$\left(2x+7\right)^2=0$$
$$2x+7=0$$
$$x=-\frac{7}{2}$$
в) $$x^2-8x+15=0$$
$$x^2-8x+16-1=0$$
$$\left(x-4\right)^2-1=0$$
$$\left(x-4-1\right)\left(x-4+1\right)=0$$
$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x=5 \text{ или } x=3$$
г) $$x^2-12x+36=0$$
$$\left(x-6\right)^2=0$$
$$x-6=0$$
$$x=6$$
д) $$9x^2-30x+25=0$$
$$\left(3x-5\right)^2=0$$
$$3x-5=0$$
$$x=\frac{5}{3}$$
е) $$x^2+9x+14=0$$
$$x^2+2x+7x+14=0$$
$$x\left(x+2\right)+7\left(x+2\right)=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x+7\right)=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=-7$$
а) $$x^2-px+p-2=0$$
Для того чтобы квадратное уравнение имело только один корень, его дискриминант должен быть равен нулю:
$$D=(-p)^2-4\cdot 1\cdot (p-2)=p^2-4p+8$$
Рассмотрим выражение $$p^2-4p+8$$:
$$p^2-4p+8=\left(p-2\right)^2+4>0$$
Значит, $$D>0$$ при любом $$p$$, поэтому уравнение всегда имеет два различных корня. Следовательно, такого значения параметра $$p$$ не существует.
б) $$x^2-4px+p-6=0$$
Уравнение не имеет решений, если $$D<0$$.
$$D=(-4p)^2-4\cdot 1\cdot (p-6)=16p^2-4p+24$$
Преобразуем:
$$16p^2-4p+24=4\left(4p^2-p+6\right)$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен $$4p^2-p+6$$:
$$D_p=(-1)^2-4\cdot 4\cdot 6=1-96=-95<0$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$4p^2-p+6>0$$ при всех $$p$$. Значит, $$D=16p^2-4p+24>0$$ при любом $$p$$, и уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, такого значения параметра $$p$$ не существует.