Упр.35.65 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 31.65. a/корень b= b/ корень a > = корень a + корень b, если а > 0, b > 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 mordkovich8 new/35-65 827

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\frac{\sqrt{a}(a-b)-\sqrt{b}(a-b)}{\sqrt{ab}}=\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}.$$

Умножим и разделим на $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$:

$$\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\sqrt{ab}>0$$, $$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$$, а $$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0$$. Значит,

$$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge 0,$$

то есть

$$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}.$$

Ответ

$$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b},\quad a>0,\ b>0.$$