Упр.35.64 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd},$$ если $$a \ge 0,\ b \ge 0,\ c \ge 0,\ d \ge 0.$$

При $$a \ge 0,\; b \ge 0,\; c \ge 0,\; d \ge 0$$ рассмотрим разность:

$$\left(\sqrt{(a+c)(b+d)}\right)^2-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2.$$

Вычислим:

$$(a+c)(b+d)-\left(ab+2\sqrt{abcd}+cd\right)$$

$$=ab+ad+bc+cd-ab-2\sqrt{abcd}-cd$$

$$=ad+bc-2\sqrt{abcd}.$$

Теперь заметим, что

$$(ad+bc)^2-4abcd=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$ad+bc \ge 2\sqrt{abcd},$$

а следовательно,

$$\left(\sqrt{(a+c)(b+d)}\right)^2-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2 \ge 0.$$

Так как обе части неотрицательны, получаем:

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$