Упр.35.64 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 31.64. корень (a+ c)(b + d) > = корень ab + корень сd, если а > = 0, b > = 0, с > = 0, d > = 0.

При $$a \ge 0,\; b \ge 0,\; c \ge 0,\; d \ge 0$$ рассмотрим разность:

$$ \left(\sqrt{(a+c)(b+d)}\right)^2-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2. $$

Вычислим:

$$ (a+c)(b+d)-\left(ab+2\sqrt{abcd}+cd\right) $$

$$ =ab+ad+bc+cd-ab-2\sqrt{abcd}-cd $$

$$ =ad+bc-2\sqrt{abcd}. $$

Теперь заметим, что

$$ (ad+bc)^2-4abcd=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2 \ge 0. $$

Значит,

$$ ad+bc \ge 2\sqrt{abcd}, $$

а следовательно,

$$ \left(\sqrt{(a+c)(b+d)}\right)^2-\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2 \ge 0. $$

Так как обе части неотрицательны, получаем:

$$ \sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}. $$

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$