Упр.35.61 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

$$a^3+1\geq a^2+a$$, если $$a\geq -1$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^3+1-(a^2+a)=a^3-a^2-a+1.$$

Разложим на множители:

$$a^3-a^2-a+1=a^2(a-1)-1(a-1)=(a-1)(a^2-1)=(a-1)^2(a+1).$$

Тогда неравенство равносильно:

$$(a-1)^2(a+1)\ge 0.$$

Так как $$a\ge -1,$$ то $$a+1\ge 0,$$ а $$(a-1)^2\ge 0$$ при любом $$a.$$ Следовательно, произведение неотрицательно, и неравенство верно.

Ответ

Неравенство верно при всех $$a\ge -1.$$