Упр.35.60 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$2a^2+b^2+c^2\geq 2a(b+c)$$;
   б) $$(x^2-y^2)^2\geq 4xy(x-y)^2$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$2a^2+b^2+c^2-2a(b+c)=2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2).$$

Тогда

$$2a^2+b^2+c^2-2a(b+c)=(a-b)^2+(a-c)^2\ge 0.$$

Значит,

$$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$

б) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\left(x^2-y^2\right)^2-4xy(x-y)^2.$$

Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ получаем:

$$\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2-4xy(x-y)^2=(x-y)^2\left((x+y)^2-4xy\right).$$

Раскроем скобки:

$$(x+y)^2-4xy=x^2+2xy+y^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$

Следовательно,

$$\left(x^2-y^2\right)^2-4xy(x-y)^2=(x-y)^2\cdot(x-y)^2=(x-y)^4\ge 0.$$

Значит,

$$\left(x^2-y^2\right)^2\ge 4xy(x-y)^2.$$

Ответ

а) $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c);$$ б) $$\left(x^2-y^2\right)^2\ge 4xy(x-y)^2.$$