Упр.35.59 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) а2 + 2b2 + 2аb + 2b + 2 > 0;
б) (а + b) (1/a + 1/b) > = 4.

а) Преобразуем левую часть:

$$a^2+2b^2+2ab+2b+2=a^2+2ab+b^2+b^2+2b+1+1=(a+b)^2+(b+1)^2+1.$$

Так как $$\,(a+b)^2\ge 0,\quad (b+1)^2\ge 0,\quad 1>0,$$ то

$$a^2+2b^2+2ab+2b+2>0.$$

б) Рассмотрим выражение:

$$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)=\left(a+b\right)\frac{a+b}{ab}=\frac{(a+b)^2}{ab}.$$

Тогда

$$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)-4=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}.$$

Если $$a$$ и $$b$$ одного знака, то $$ab>0$$, а значит

$$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$

Ответ

а) $$a^2+2b^2+2ab+2b+2>0$$; б) $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4$$ при $$ab>0$$.