Упр.35.58 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 31.58. Докажите неравенство 5a/3b+12b/5a > = 4, если известно, что а и b — числа одного знака.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}=\frac{25a^2+36b^2}{15ab}.$$

Тогда

$$\frac{25a^2+36b^2}{15ab}\ge 4.$$

Перенесём $4$ в левую часть:

$$\frac{25a^2+36b^2}{15ab}-4\ge 0,$$

$$\frac{25a^2+36b^2-60ab}{15ab}\ge 0,$$

$$\frac{(5a-6b)^2}{15ab}\ge 0.$$

Так как $a$ и $b$ — числа одного знака, то $ab>0$. Кроме того, $(5a-6b)^2\ge 0$ при любых $a$ и $b$. Значит, дробь неотрицательна:

$$\frac{(5a-6b)^2}{15ab}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}\ge 4.$$

Ответ

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}\ge 4.$$