Упр.35.58 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}\ge 4$$, если известно, что $$a$$ и $$b$$ — числа одного знака.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}=\frac{25a^2+36b^2}{15ab}.$$

Тогда

$$\frac{25a^2+36b^2}{15ab}\ge 4.$$

Перенесём $$4$$ в левую часть:

$$\frac{25a^2+36b^2}{15ab}-4\ge 0,$$

$$\frac{25a^2+36b^2-60ab}{15ab}\ge 0,$$

$$\frac{(5a-6b)^2}{15ab}\ge 0.$$

Так как $$a$$ и $$b$$ — числа одного знака, то $$ab>0$$. Кроме того, $$(5a-6b)^2\ge 0$$ при любых $$a$$ и $$b$$. Значит, дробь неотрицательна:

$$\frac{(5a-6b)^2}{15ab}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}\ge 4.$$

Ответ

$$\frac{5a}{3b}+\frac{12b}{5a}\ge 4.$$