Упр.35.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Сравните числа $$a$$ и $$b$$, если:
   а) $$a=\sqrt{37}-\sqrt{14}$$, $$b=6-\sqrt{15}$$;
   б) $$a=\sqrt{11}-\sqrt{10}$$, $$b=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$;
   в) $$a=\sqrt{17}-\sqrt{15}$$, $$b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$$;
   г) $$a=\sqrt{10}-\sqrt{7}$$, $$b=\sqrt{11}-\sqrt{6}$$.

1. а) $$a=\sqrt{37}-\sqrt{14},\quad b=6-\sqrt{15}$$

   Сравним квадраты:

   $$(\sqrt{37}-\sqrt{14})^2=37-2\sqrt{518}+14=51-2\sqrt{518}$$
   $$(6-\sqrt{15})^2=36-12\sqrt{15}+15=51-12\sqrt{15}$$

   Достаточно сравнить $$2\sqrt{518}$$ и $$12\sqrt{15}$$:

   $$2\sqrt{518}<12\sqrt{15} \iff \sqrt{518}<6\sqrt{15} \iff 518<540$$

   Это верно, значит, $$a>b$$.

2. б) $$a=\sqrt{11}-\sqrt{10},\quad b=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$

   Сравним квадраты:

   $$(\sqrt{11}-\sqrt{10})^2=11-2\sqrt{110}+10=21-2\sqrt{110}$$
   $$(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2=6-2\sqrt{30}+5=11-2\sqrt{30}$$

   Проверим, что $$21-2\sqrt{110}<11-2\sqrt{30}$$:

   $$10<2\sqrt{110}-2\sqrt{30} \iff 5<\sqrt{110}-\sqrt{30}$$
   $$(\sqrt{110}-\sqrt{30})^2=140-20\sqrt{33}$$

   Так как $$140-20\sqrt{33}>25$$, то $$\sqrt{110}-\sqrt{30}>5$$, значит, $$a<b$$.

3. в) $$a=\sqrt{17}-\sqrt{15},\quad b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$$

   Сравним квадраты:

   $$(\sqrt{17}-\sqrt{15})^2=17-2\sqrt{255}+15=32-2\sqrt{255}$$
   $$(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2=7-2\sqrt{35}+5=12-2\sqrt{35}$$

   Проверим, что $$32-2\sqrt{255}<12-2\sqrt{35}$$:

   $$20<2\sqrt{255}-2\sqrt{35} \iff 10<\sqrt{255}-\sqrt{35}$$
   $$(\sqrt{255}-\sqrt{35})^2=290-2\sqrt{8925}$$

   Так как $$290-2\sqrt{8925}>100$$, то $$\sqrt{255}-\sqrt{35}>10$$, значит, $$a<b$$.

4. г) $$a=\sqrt{10}-\sqrt{7},\quad b=\sqrt{11}-\sqrt{6}$$

   Сравним квадраты:

   $$(\sqrt{10}-\sqrt{7})^2=10-2\sqrt{70}+7=17-2\sqrt{70}$$
   $$(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2=11-2\sqrt{66}+6=17-2\sqrt{66}$$

   Так как $$\sqrt{70}>\sqrt{66}$$, то $$17-2\sqrt{70}<17-2\sqrt{66}$$, значит, $$a<b$$.

Ответ

а) $$a>b$$; б) $$a<b$$; в) $$a<b$$; г) $$a<b$$.