Упр.35.51 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

а) а = корень 37 — корень 14, b = 6 — корень 15;
б) а = корень 11 — корень 10, b = корень 6 — корень 5;
в) a = корень 17 — корень 15, b = корень 7 — корень 5;
г) а = корень 10 — корень 7, b = корень 11 — корень 6.

Подробный ответ

а) $$a=\sqrt{37}-\sqrt{14},\quad b=6-\sqrt{15}$$
Сравним квадраты:
$$ (\sqrt{37}-\sqrt{14})^2=37-2\sqrt{518}+14=51-2\sqrt{518} $$
$$ (6-\sqrt{15})^2=36-12\sqrt{15}+15=51-12\sqrt{15} $$
Достаточно сравнить $$2\sqrt{518}$$ и $$12\sqrt{15}$$:
$$ 2\sqrt{518}<12\sqrt{15} \iff \sqrt{518}<6\sqrt{15} \iff 518<540 $$
Это верно, значит, $$a>b$$.
б) $$a=\sqrt{11}-\sqrt{10},\quad b=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$
Сравним квадраты:
$$ (\sqrt{11}-\sqrt{10})^2=11-2\sqrt{110}+10=21-2\sqrt{110} $$
$$ (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2=6-2\sqrt{30}+5=11-2\sqrt{30} $$
Проверим, что $$21-2\sqrt{110}<11-2\sqrt{30}$$:
$$ 10<2\sqrt{110}-2\sqrt{30} \iff 5<\sqrt{110}-\sqrt{30} $$
$$ (\sqrt{110}-\sqrt{30})^2=140-20\sqrt{33} $$
Так как $$140-20\sqrt{33}>25$$, то $$\sqrt{110}-\sqrt{30}>5$$, значит, $$a<b$$.
в) $$a=\sqrt{17}-\sqrt{15},\quad b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$$
Сравним квадраты:
$$ (\sqrt{17}-\sqrt{15})^2=17-2\sqrt{255}+15=32-2\sqrt{255} $$
$$ (\sqrt{7}-\sqrt{5})^2=7-2\sqrt{35}+5=12-2\sqrt{35} $$
Проверим, что $$32-2\sqrt{255}<12-2\sqrt{35}$$:
$$ 20<2\sqrt{255}-2\sqrt{35} \iff 10<\sqrt{255}-\sqrt{35} $$
$$ (\sqrt{255}-\sqrt{35})^2=290-2\sqrt{8925} $$
Так как $$290-2\sqrt{8925}>100$$, то $$\sqrt{255}-\sqrt{35}>10$$, значит, $$a<b$$.
г) $$a=\sqrt{10}-\sqrt{7},\quad b=\sqrt{11}-\sqrt{6}$$
Сравним квадраты:
$$ (\sqrt{10}-\sqrt{7})^2=10-2\sqrt{70}+7=17-2\sqrt{70} $$
$$ (\sqrt{11}-\sqrt{6})^2=11-2\sqrt{66}+6=17-2\sqrt{66} $$
Так как $$\sqrt{70}>\sqrt{66}$$, то $$17-2\sqrt{70}<17-2\sqrt{66}$$, значит, $$a<b$$.