Упр.35.46 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 31.46. Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите неравенство: а) $$x^2-6x+14>0$$; б) $$a^2+10>-6a$$; в) $$y^2+70>16y$$; г) $$b^2+20>-8b$$.

Представим каждое выражение в виде суммы квадрата двучлена и положительного числа.

1. $$x^2-6x+14=(x^2-6x+9)+5=(x-3)^2+5$$

   Так как $$\,(x-3)^2 \ge 0\,$$, то $$\,(x-3)^2+5>0\,$$ при любом $$x$$.

2. $$a^2+10>-6a$$
   $$a^2+6a+10>0$$
   $$a^2+6a+10=(a^2+6a+9)+1=(a+3)^2+1$$

   Так как $$\,(a+3)^2 \ge 0\,$$, то $$\,(a+3)^2+1>0\,$$ при любом $$a$$.

3. $$y^2+70>16y$$
   $$y^2-16y+70>0$$
   $$y^2-16y+70=(y^2-16y+64)+6=(y-8)^2+6$$

   Так как $$\,(y-8)^2 \ge 0\,$$, то $$\,(y-8)^2+6>0\,$$ при любом $$y$$.

4. $$b^2+20>-8b$$
   $$b^2+8b+20>0$$
   $$b^2+8b+20=(b^2+8b+16)+4=(b+4)^2+4$$

   Так как $$\,(b+4)^2 \ge 0\,$$, то $$\,(b+4)^2+4>0\,$$ при любом $$b$$.

Ответ

Все неравенства верны при любых значениях переменных.