Упр.35.45 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

б) (m+n)2/2 < = m2+n2.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\le 2,\qquad pq<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{p^2+q^2}{pq}\le 2,$$

$$\frac{p^2+q^2-2pq}{pq}\le 0,$$

$$\frac{(p-q)^2}{pq}\le 0.$$

Так как $$\left(p-q\right)^2\ge 0,$$ а по условию $$pq<0,$$ то дробь не положительна. Значит, неравенство верно.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(m+n)^2}{2}\le m^2+n^2.$$

Умножим обе части на $$2$$:

$$m^2+2mn+n^2\le 2m^2+2n^2,$$

$$0\le m^2-2mn+n^2,$$

$$0\le (m-n)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

Ответ

Оба неравенства верны.