Упр.35.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

x^2 + 3x — 5 = 0, 2x^2 + x + 1= 0, x^2 — 3х = 0,
1/7 х^2 — 2х — 4 = 0, x^2 — 5 = 0.
При каких значениях параметра р заданное уравнение имеет единственный корень:
а) х^2 — рх + 9 = 0;
б) х^2 + 3рх + р = 0;
в) рх^2 + 4рx + 16 = 0;
г) х^2 + рх + 16 = 0;
д) х^2 — 2рх + 3р = 0;
е) рх^2 + (р — 2)х — 2 = 0?

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен $1$.

Проверим данные уравнения:

$$x^2 + 3x — 5 = 0$$
— приведённое;
$$2x^2 + x + 1 = 0$$
— неприведённое;
$$x^2 — 3x = 0$$
— приведённое;
$$\frac{1}{7}x^2 — 2x — 4 = 0$$
— неприведённое;
$$x^2 — 5 = 0$$
— приведённое.

Уравнение имеет единственный корень, если $$D=0$$.

1. $$x^2 — px + 9 = 0$$

   $$D = p^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = p^2 — 36$$

   $$p^2 — 36 = 0$$
   $$p = \pm 6$$

2. $$x^2 + 3px + p = 0$$

   $$D = (3p)^2 — 4 \cdot 1 \cdot p = 9p^2 — 4p$$

   $$9p^2 — 4p = 0$$
   $$p(9p — 4)=0$$
   $$p=0 \text{ или } p=\frac{4}{9}$$

3. $$px^2 + 4px + 16 = 0$$

   Если $$p=0$$, получаем $$16=0$$, что невозможно. Значит, $$p \ne 0$$.

   $$D = (4p)^2 — 4 \cdot p \cdot 16 = 16p^2 — 64p$$

   $$16p^2 — 64p = 0$$
   $$16p(p-4)=0$$
   $$p=0 \text{ или } p=4$$

   С учётом $$p \ne 0$$ получаем $$p=4$$.

4. $$x^2 + px + 16 = 0$$

   $$D = p^2 — 4 \cdot 16 = p^2 — 64$$

   $$p^2 — 64 = 0$$
   $$p = \pm 8$$

5. $$x^2 — 2px + 3p = 0$$

   $$D = (-2p)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3p = 4p^2 — 12p$$

   $$4p^2 — 12p = 0$$
   $$4p(p-3)=0$$
   $$p=0 \text{ или } p=3$$

6. $$px^2 + (p-2)x — 2 = 0$$

   Если $$p=0$$, уравнение становится линейным: $$-2x-2=0$$, и имеет единственный корень. При $$p \ne 0$$ это квадратное уравнение.

   $$D = (p-2)^2 — 4 \cdot p \cdot (-2) = p^2 — 4p + 4 + 8p = p^2 + 4p + 4$$

   $$p^2 + 4p + 4 = 0$$
   $$(p+2)^2=0$$
   $$p=-2$$

Ответ

Приведённые уравнения: $$x^2 + 3x — 5 = 0$$, $$x^2 — 3x = 0$$, $$x^2 — 5 = 0$$.

Единственный корень уравнение имеет при:

а) $$p=\pm 6$$; б) $$p=0$$ или $$p=\frac{4}{9}$$; в) $$p=4$$; г) $$p=\pm 8$$; д) $$p=0$$ или $$p=3$$; е) $$p=-2$$.