Упр.35.3 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Укажите, какие из представленных квадратных уравнений являются приведёнными: $$x^2+3x-5=0$$, $$2x^2+x+1=0$$, $$x^2-3x=0$$, $$\frac{1}{7}x^2-2x-4=0$$, $$x^2-5=0$$.
При каких значениях параметра $$p$$ заданное уравнение имеет единственный корень: а) $$x^2-px+9=0$$; б) $$x^2+3px+p=0$$; в) $$px^2+4px+16=0$$; г) $$x^2+px+16=0$$; д) $$x^2-2px+3p=0$$; е) $$px^2+(p-2)x-2=0$$?

Подробный ответ

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен $$1$$.

Проверим данные уравнения:

$$x^2 + 3x — 5 = 0$$
— приведённое;
$$2x^2 + x + 1 = 0$$
— неприведённое;
$$x^2 — 3x = 0$$
— приведённое;
$$\frac{1}{7}x^2 — 2x — 4 = 0$$
— неприведённое;
$$x^2 — 5 = 0$$
— приведённое.

Уравнение имеет единственный корень, если $$D=0$$.

$$x^2 — px + 9 = 0$$
$$D = p^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = p^2 — 36$$
$$p^2 — 36 = 0$$
$$p = \pm 6$$
$$x^2 + 3px + p = 0$$
$$D = (3p)^2 — 4 \cdot 1 \cdot p = 9p^2 — 4p$$
$$9p^2 — 4p = 0$$
$$p(9p — 4)=0$$
$$p=0 \text{ или } p=\frac{4}{9}$$
$$px^2 + 4px + 16 = 0$$
Если $$p=0$$, получаем $$16=0$$, что невозможно. Значит, $$p \ne 0$$.
$$D = (4p)^2 — 4 \cdot p \cdot 16 = 16p^2 — 64p$$
$$16p^2 — 64p = 0$$
$$16p(p-4)=0$$
$$p=0 \text{ или } p=4$$
С учётом $$p \ne 0$$ получаем $$p=4$$.
$$x^2 + px + 16 = 0$$
$$D = p^2 — 4 \cdot 16 = p^2 — 64$$
$$p^2 — 64 = 0$$
$$p = \pm 8$$
$$x^2 — 2px + 3p = 0$$
$$D = (-2p)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3p = 4p^2 — 12p$$
$$4p^2 — 12p = 0$$
$$4p(p-3)=0$$
$$p=0 \text{ или } p=3$$
$$px^2 + (p-2)x — 2 = 0$$
Если $$p=0$$, уравнение становится линейным: $$-2x-2=0$$, и имеет единственный корень. При $$p \ne 0$$ это квадратное уравнение.
$$D = (p-2)^2 — 4 \cdot p \cdot (-2) = p^2 — 4p + 4 + 8p = p^2 + 4p + 4$$
$$p^2 + 4p + 4 = 0$$
$$(p+2)^2=0$$
$$p=-2$$