Упр.35.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте и прочитайте график функции $$y=\begin{cases}|x-2|-3,& \text{если } -6\,?\,x<1;\\(x-1)^2,& \text{если } x\,?\,1.\end{cases}$$

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} |x-2|-3, & -6\le x<1,\\ (x-1)^2, & x\ge 1. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$-6\le x<1$$ имеем график функции $$y=|x-2|-3$$. Это график $$y=|x|$$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз.

На данном промежутке:

$$y=|x-2|-3=-(x-2)-3=-x-1,\quad \text{если } x<2.$$

Так как здесь $$x<1<2$$, то на отрезке $$[-6;1)$$ это прямая $$y=-x-1$$. В точке $$x=-6$$ получаем $$y=5$$, а при $$x\to 1-$$ получаем $$y=-2$$, но точка $$x=1$$ не входит в этот кусок графика.

2) При $$x\ge 1$$ имеем параболу $$y=(x-1)^2$$ — это график $$y=x^2$$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $$(1;0)$$, и эта точка входит в график.

Соединим обе части на одной координатной плоскости: слева — луч прямой от точки $$(-6;5)$$ до точки $$(1;-2)$$ с пустой точкой в конце, справа — ветвь параболы с вершиной в точке $$(1;0)$$.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения:
$$D(y)=[-6;+\infty).$$

Нули функции:
$$|x-2|-3=0 \Rightarrow |x-2|=3 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=5.$$
Но на первом промежутке подходит только $$x=-1$$, а на втором $$x=5$$. Значит,
$$y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=5.$$

Знак функции:
$$y<0 \text{ при } x\in(-1;5),$$
$$y>0 \text{ при } x\in[-6;-1)\cup(5;+\infty).$$

Функция убывает на $$[-6;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

Наименьшее значение функции равно $$-2$$, оно не достигается, так как точка $$x=1$$ в первой части не входит, а во второй части значение в вершине равно $$0$$. Поэтому
$$E(y)=(-2;+\infty).$$

Ответ

График состоит из луча прямой $$y=-x-1$$ при $$-6\le x<1$$ и ветви параболы $$y=(x-1)^2$$ при $$x\ge 1$$.
$$D(y)=[-6;+\infty),\quad E(y)=(-2;+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=5$$; $$y<0$$ при $$x\in(-1;5)$$; $$y>0$$ при $$x\in[-6;-1)\cup(5;+\infty).$$