Упр.35.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

y = {|x — 2| — 3, если -6 ? x < 1; (x - 1)^2, если x ? 1}.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} |x-2|-3, & -6\le x<1,\\ (x-1)^2, & x\ge 1. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$-6\le x<1$$ имеем график функции $$y=|x-2|-3$$. Это график $$y=|x|$$, сдвинутый на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз.

На данном промежутке:

$$ y=|x-2|-3=-(x-2)-3=-x-1,\quad \text{если } x<2. $$

Так как здесь $$x<1<2$$, то на отрезке $$[-6;1)$$ это прямая $$y=-x-1$$. В точке $$x=-6$$ получаем $$y=5$$, а при $$x\to 1-$$ получаем $$y=-2$$, но точка $$x=1$$ не входит в этот кусок графика.

2) При $$x\ge 1$$ имеем параболу $$y=(x-1)^2$$ — это график $$y=x^2$$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $$ (1;0) $$, и эта точка входит в график.

Соединим обе части на одной координатной плоскости: слева — луч прямой от точки $$(-6;5)$$ до точки $$ (1;-2) $$ с пустой точкой в конце, справа — ветвь параболы с вершиной в точке $$ (1;0) $$.

Найдём основные характеристики функции.

Область определения:
$$ D(y)=[-6;+\infty). $$

Нули функции:
$$ |x-2|-3=0 \Rightarrow |x-2|=3 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=5. $$
Но на первом промежутке подходит только $$x=-1$$, а на втором $$x=5$$. Значит,
$$ y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=5. $$

Знак функции:
$$ y<0 \text{ при } x\in(-1;5), $$
$$ y>0 \text{ при } x\in[-6;-1)\cup(5;+\infty). $$

Функция убывает на $$[-6;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$.

Наименьшее значение функции равно $$-2$$, оно не достигается, так как точка $$x=1$$ в первой части не входит, а во второй части значение в вершине равно $$0$$. Поэтому
$$ E(y)=(-2;+\infty). $$

Ответ

График состоит из луча прямой $$y=-x-1$$ при $$-6\le x<1$$ и ветви параболы $$y=(x-1)^2$$ при $$x\ge 1$$.
$$D(y)=[-6;+\infty),\quad E(y)=(-2;+\infty).$$
$$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=5$$; $$y<0$$ при $$x\in(-1;5)$$; $$y>0$$ при $$x\in[-6;-1)\cup(5;+\infty).$$