Упр.35.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- а) Катер, собственная скорость которого равна $$16\ \text{км/ч}$$, прошёл $$40\ \text{км}$$ по течению реки и $$24\ \text{км}$$ против течения, затратив на весь путь $$4\ \text{ч}$$. Чему равна скорость течения реки?
б) Теплоход прошёл $$24\ \text{км}$$ против течения реки и ещё $$36\ \text{км}$$ по течению реки, затратив на весь путь $$4\ \text{ч}$$. С какой скоростью двигался бы теплоход по озеру, если скорость течения реки $$3\ \text{км/ч}$$? - Проверьте справедливость неравенства:
а) $$4{,}3 < v_{19} < 4{,}4$$;
б) $$6{,}5 < v_{43} < 6{,}6$$;
в) $$7{,}2 < v_{53} < 7{,}3$$;
г) $$5{,}2 < v_{28} < 5{,}3$$.
Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч.
Тогда скорость катера по течению равна $$16+x$$ км/ч, а против течения — $$16-x$$ км/ч.
По условию:
$$\frac{40}{16+x}+\frac{24}{16-x}=4,\quad 0<x<16.$$
Решим уравнение:
$$40(16-x)+24(16+x)=4(16-x)(16+x)$$
$$640-40x+384+24x=4(256-x^2)$$
$$1024-16x=1024-4x^2$$
$$4x^2-16x=0$$
$$4x(x-4)=0$$Отсюда $$x=0$$ или $$x=4$$. Значение $$x=0$$ не подходит, так как скорость течения не может быть равна нулю в данном решении уравнения.
Значит, скорость течения реки равна $$4$$ км/ч.
Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч.
Тогда по течению он движется со скоростью $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
Составим уравнение:
$$\frac{24}{x-3}+\frac{36}{x+3}=4,\quad x>3.$$
Решим его:
$$24(x+3)+36(x-3)=4(x-3)(x+3)$$
$$24x+72+36x-108=4(x^2-9)$$
$$60x-36=4x^2-36$$
$$4x^2-60x=0$$
$$4x(x-15)=0$$Отсюда $$x=0$$ или $$x=15$$. Так как $$x>3$$, подходит только $$x=15$$.
Значит, по озеру теплоход двигался бы со скоростью $$15$$ км/ч.
Проверим неравенства:
$$4{,}3<\sqrt{19}<4{,}4,$$
так как
$$4{,}3^2=18{,}49<19<19{,}36=4{,}4^2.$$$$6{,}5<\sqrt{43}<6{,}6,$$
так как
$$6{,}5^2=42{,}25<43<43{,}56=6{,}6^2.$$$$7{,}2<\sqrt{53}<7{,}3,$$
так как
$$7{,}2^2=51{,}84<53<53{,}29=7{,}3^2.$$$$5{,}2<\sqrt{28}<5{,}3,$$
так как
$$5{,}2^2=27{,}04<28<28{,}09=5{,}3^2.$$Все неравенства верны.
Ответ
а) $$4$$ км/ч; б) $$15$$ км/ч; все неравенства верны.
