Упр.35.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Теплоход прошёл 24 км против течения реки и ещё 36 км по течению реки, затратив на весь путь 4 ч. С какой скоростью двигался бы теплоход по озеру, если скорость течения реки 3 км/ч? Проверьте справедливость неравенства:
а) 4,3 < v19 < 4,4; в) 7,2 < v53 < 7,3; б) 6,5 < v43 < 6,6; г) 5,2 < v28 < 5,3.

Подробный ответ

Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч.
Тогда скорость катера по течению равна $$16+x$$ км/ч, а против течения — $$16-x$$ км/ч.
По условию:
$$\frac{40}{16+x}+\frac{24}{16-x}=4,\quad 0<x<16.$$
Решим уравнение:
$$ 40(16-x)+24(16+x)=4(16-x)(16+x) $$
$$ 640-40x+384+24x=4(256-x^2) $$
$$ 1024-16x=1024-4x^2 $$
$$ 4x^2-16x=0 $$
$$ 4x(x-4)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=4$$. Значение $$x=0$$ не подходит, так как скорость течения не может быть равна нулю в данном решении уравнения.
Значит, скорость течения реки равна $$4$$ км/ч.
Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч.
Тогда по течению он движется со скоростью $$x+3$$ км/ч, а против течения — $$x-3$$ км/ч.
Составим уравнение:
$$\frac{24}{x-3}+\frac{36}{x+3}=4,\quad x>3.$$
Решим его:
$$ 24(x+3)+36(x-3)=4(x-3)(x+3) $$
$$ 24x+72+36x-108=4(x^2-9) $$
$$ 60x-36=4x^2-36 $$
$$ 4x^2-60x=0 $$
$$ 4x(x-15)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=15$$. Так как $$x>3$$, подходит только $$x=15$$.
Значит, по озеру теплоход двигался бы со скоростью $$15$$ км/ч.
Проверим неравенства:
$$4{,}3<\sqrt{19}<4{,}4,$$
так как
$$4{,}3^2=18{,}49<19<19{,}36=4{,}4^2.$$
$$6{,}5<\sqrt{43}<6{,}6,$$
так как
$$6{,}5^2=42{,}25<43<43{,}56=6{,}6^2.$$
$$7{,}2<\sqrt{53}<7{,}3,$$
так как
$$7{,}2^2=51{,}84<53<53{,}29=7{,}3^2.$$
$$5{,}2<\sqrt{28}<5{,}3,$$
так как
$$5{,}2^2=27{,}04<28<28{,}09=5{,}3^2.$$
Все неравенства верны.