Упр.34.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-1,\\ (x+1)^2+1, & -1\le x\le 3. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-4)=-\dfrac{4}{-4}=1,$$

$$f(-1)=(-1+1)^2+1=0^2+1=1,$$

$$f(0)=(0+1)^2+1=1^2+1=2.$$

При $$x=5$$ ни одна из формул не подходит, значит $$f(5)$$ не существует.

б) Построим график функции.

При $$x<-1$$ график задаётся гиперболой $$y=-\dfrac{4}{x}$$. Для построения можно взять точки:

$$(-16;0{,}25),\ (-8;0{,}5),\ (-4;1),\ (-2;2).$$

При $$-1\le x\le 3$$ график задаётся параболой $$y=(x+1)^2+1$$ — это график $$y=x^2$$, сдвинутый на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх. Его вершина: $$(-1;1)$$.

в) Решим уравнения по частям.

1) $$f(x)=-1$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=-1 \Rightarrow x=4,$$

но $$4\not<-1$$, значит решений нет.
Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=-1$$

решений не имеет.

Итак, решений нет.

2) $$f(x)=1$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=-4.$$

Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $$x=-4$$ и $$x=-1$$.

3) $$f(x)=5$$

Для $$x<-1$$:

$$-\dfrac{4}{x}=5 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{5},$$

но $$-\dfrac{4}{5}\not<-1$$, значит решений нет.
Для $$-1\le x\le 3$$:

$$(x+1)^2+1=5 \Rightarrow (x+1)^2=4 \Rightarrow x+1=\pm 2.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=-3$$, но подходит только $$x=1$$.

г) На отрезке $$[-8;-4]$$ используется только формула $$f(x)=-\dfrac{4}{x}$$.
На этом отрезке функция возрастает, так как при увеличении $$x$$ (от отрицательных чисел к менее отрицательным) значение $$-\dfrac{4}{x}$$ увеличивается.

Значит, наименьшее значение достигается в точке $$x=-8$$, а наибольшее — в точке $$x=-4$$:

$$f(-8)=\dfrac{1}{2}, \qquad f(-4)=1.$$

Доказательство тождества а)

Заметим, что в записи есть опечатка: должно быть

$$\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{a^4-b^4}=\dfrac{1}{a+b}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{a^4-b^4} = \dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\dfrac{a(a^2-b^2)-b(a-b)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a(a^2-b^2)-b(a-b)^2 = a^3-ab^2-b(a^2-2ab+b^2)$$

$$= a^3-ab^2-a^2b+2ab^2-b^3 = a^3-a^2b+ab^2-b^3.$$

Вынесем общий множитель:

$$a^3-a^2b+ab^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$\dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \dfrac{1}{a+b}.$$

Доказательство тождества б)

Преобразуем левую часть:

$$\dfrac{n(m+n)^2}{m^4-n^4}+\dfrac{m}{m^2+n^2} = \dfrac{n(m+n)^2}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}+\dfrac{m(m^2-n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}.$$

Сложим дроби:

$$\dfrac{n(m+n)^2+m(m^2-n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$n(m^2+2mn+n^2)+m^3-mn^2 = m^3+m^2n+mn^2+n^3.$$

Сгруппируем:

$$m^3+m^2n+mn^2+n^3=(m+n)(m^2+n^2).$$

Тогда

$$\dfrac{(m+n)(m^2+n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)} = \dfrac{m+n}{(m-n)(m+n)} = \dfrac{1}{m-n}.$$

Ответ

а) $$f(-4)=1,\ f(-1)=1,\ f(0)=2,\ f(5)$$ не существует.

в) $$f(x)=-1$$ — решений нет; $$f(x)=1$$ при $$x=-4$$ и $$x=-1$$; $$f(x)=5$$ при $$x=1$$.

г) На отрезке $$[-8;-4]$$: $$\min f(x)=\dfrac{1}{2}$$, $$\max f(x)=1$$.

Тождества доказаны.