Упр.34.9 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) Найдите f(-4), f(-1), f(0), f(5).
б) Постройте график функции у = f(x).
в) При каких значениях х справедливы равенства f(x) = — 1, f(x) = 1, f(x) = 5?
г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [—8; —4]. Докажите тождество:
а) a/(a^2 + b^2) — (b(a — b)^2)/(a^4 — b^2) = 1/(a + b);
б) (n(m + n)^2)/(m^4 — n^4) + m/(m^2 + n^2) = 1/(m — n).
Дана функция
$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-1,\\ (x+1)^2+1, & -1\le x\le 3. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-4)=-\dfrac{4}{-4}=1, $$
$$ f(-1)=(-1+1)^2+1=0^2+1=1, $$
$$ f(0)=(0+1)^2+1=1^2+1=2. $$
При $$x=5$$ ни одна из формул не подходит, значит $$f(5)$$ не существует.
б) Построим график функции.
При $$x<-1$$ график задаётся гиперболой $$y=-\dfrac{4}{x}$$. Для построения можно взять точки:
$$ (-16;0{,}25),\ (-8;0{,}5),\ (-4;1),\ (-2;2). $$
При $$-1\le x\le 3$$ график задаётся параболой $$y=(x+1)^2+1$$ — это график $$y=x^2$$, сдвинутый на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх. Его вершина: $$(-1;1)$$.
в) Решим уравнения по частям.
1) $$f(x)=-1$$
Для $$x<-1$$:
$$ -\dfrac{4}{x}=-1 \Rightarrow x=4, $$
но $$4\not<-1$$, значит решений нет.
Для $$-1\le x\le 3$$:
$$ (x+1)^2+1=-1 $$
решений не имеет.
Итак, решений нет.
2) $$f(x)=1$$
Для $$x<-1$$:
$$ -\dfrac{4}{x}=1 \Rightarrow x=-4. $$
Для $$-1\le x\le 3$$:
$$ (x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1. $$
Ответ: $$x=-4$$ и $$x=-1$$.
3) $$f(x)=5$$
Для $$x<-1$$:
$$ -\dfrac{4}{x}=5 \Rightarrow x=-\dfrac{4}{5}, $$
но $$-\dfrac{4}{5}\not<-1$$, значит решений нет.
Для $$-1\le x\le 3$$:
$$ (x+1)^2+1=5 \Rightarrow (x+1)^2=4 \Rightarrow x+1=\pm 2. $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=-3$$, но подходит только $$x=1$$.
г) На отрезке $$[-8;-4]$$ используется только формула $$f(x)=-\dfrac{4}{x}$$.
На этом отрезке функция возрастает, так как при увеличении $$x$$ (от отрицательных чисел к менее отрицательным) значение $$-\dfrac{4}{x}$$ увеличивается.
Значит, наименьшее значение достигается в точке $$x=-8$$, а наибольшее — в точке $$x=-4$$:
$$ f(-8)=\dfrac{1}{2}, \qquad f(-4)=1. $$
Доказательство тождества а)
Заметим, что в записи есть опечатка: должно быть
$$ \dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{a^4-b^4}=\dfrac{1}{a+b}. $$
Преобразуем левую часть:
$$ \dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{a^4-b^4} = \dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b(a-b)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \dfrac{a(a^2-b^2)-b(a-b)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ a(a^2-b^2)-b(a-b)^2 = a^3-ab^2-b(a^2-2ab+b^2) $$
$$ = a^3-ab^2-a^2b+2ab^2-b^3 = a^3-a^2b+ab^2-b^3. $$
Вынесем общий множитель:
$$ a^3-a^2b+ab^2-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$
Тогда
$$ \dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \dfrac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \dfrac{1}{a+b}. $$
Доказательство тождества б)
Преобразуем левую часть:
$$ \dfrac{n(m+n)^2}{m^4-n^4}+\dfrac{m}{m^2+n^2} = \dfrac{n(m+n)^2}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}+\dfrac{m(m^2-n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}. $$
Сложим дроби:
$$ \dfrac{n(m+n)^2+m(m^2-n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}. $$
Раскроем скобки в числителе:
$$ n(m^2+2mn+n^2)+m^3-mn^2 = m^3+m^2n+mn^2+n^3. $$
Сгруппируем:
$$ m^3+m^2n+mn^2+n^3=(m+n)(m^2+n^2). $$
Тогда
$$ \dfrac{(m+n)(m^2+n^2)}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)} = \dfrac{m+n}{(m-n)(m+n)} = \dfrac{1}{m-n}. $$
Ответ
а) $$f(-4)=1,\ f(-1)=1,\ f(0)=2,\ f(5)$$ не существует.
в) $$f(x)=-1$$ — решений нет; $$f(x)=1$$ при $$x=-4$$ и $$x=-1$$; $$f(x)=5$$ при $$x=1$$.
г) На отрезке $$[-8;-4]$$: $$\min f(x)=\dfrac{1}{2}$$, $$\max f(x)=1$$.
Тождества доказаны.
