Упр.34.5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=-\frac{8}{x}$$ на заданном промежутке: а) $$[-8;-2]$$; б) $$[4;8]$$; в) $$[2;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-4]$$; д) $$(1;8)$$; е) $$(-4;-1)$$.
- Решите уравнение: а) $$(2x-1)(x+4)+7=x(x-1)$$; б) $$(2x-3)^2+x(x+4)-9=4$$; в) $$(4x-3)(4x+3)-3x(2x+6)=5x^2-18$$; г) $$(x+5)(2x-1)=x(x+3)-10$$; д) $$(2x+3)^2-x(2x-3)=x(1-x)+1$$; е) $$(3x-2)(3x+2)-2x(4x+5)+9=2(x+15)$$.
Рассмотрим функцию $$y=-\frac{8}{x}.$$ На каждом из заданных промежутков найдём значения функции на концах промежутка и учтём, что при возрастании $$x$$ на промежутках, не содержащих ноль, функция $$y=-\frac{8}{x}$$ убывает.
а) $$[-8;-2]$$
$$y(-8)= -\frac{8}{-8}=1,$$
$$y(-2)= -\frac{8}{-2}=4.$$
Значит, $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=4.$$
б) $$[4;8]$$
$$y(4)= -\frac{8}{4}=-2,$$
$$y(8)= -\frac{8}{8}=-1.$$
Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=-1.$$
в) $$[2;+\infty)$$
$$y(2)= -\frac{8}{2}=-4.$$
Наибольшее значение не существует, так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0^-.$$ Следовательно, $$y_{\min}=-4,$$ а $$y_{\max}$$ не существует.
г) $$(-\infty;-4]$$
$$y(-4)= -\frac{8}{-4}=2.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to 0^+,$$ поэтому наименьшего значения нет. Значит, $$y_{\max}=2,$$ $$y_{\min}$$ не существует.
д) $$(1;8)$$
Концы промежутка не входят, а функция на нём убывает. При $$x\to 1+$$ получаем $$y\to -8,$$ при $$x\to 8-$$ получаем $$y\to -1.$$ Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
е) $$(-4;-1)$$
На этом промежутке функция убывает. При $$x\to -4+$$ получаем $$y\to 2,$$ при $$x\to -1-$$ получаем $$y\to 8.$$ Так как концы не входят, наибольшего и наименьшего значений нет.
Решим уравнения.
а) $$(2x-1)(x+4)+7=x(x-1)$$
$$2x^2+8x-x-4+7=x^2-x \\ 2x^2+7x+3-x^2+x=0 \\ x^2+8x+3=0$$
$$x=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{52}}{2} =-4\pm\sqrt{13}.$$
б) $$(2x-3)^2+x(x+4)-9=4$$
$$4x^2-12x+9+x^2+4x-9-4=0 \\ 5x^2-8x-4=0$$
$$x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 5\cdot (-4)}}{2\cdot 5} =\frac{8\pm\sqrt{144}}{10} =\frac{8\pm 12}{10}.$$
$$x_1=-\frac{2}{5}, \quad x_2=2.$$
в) $$(4x-3)(4x+3)-3x(2x+6)=5x^2-18$$
$$16x^2-9-6x^2-18x=5x^2-18 \\ 10x^2-18x-9=5x^2-18 \\ 5x^2-18x+9=0$$
$$x=\frac{18\pm\sqrt{(-18)^2-4\cdot 5\cdot 9}}{10} =\frac{18\pm\sqrt{144}}{10} =\frac{18\pm 12}{10}.$$
$$x_1=\frac{3}{5}, \quad x_2=3.$$
г) $$(x+5)(2x-1)=x(x+3)-10$$
$$2x^2+9x-5=x^2+3x-10 \\ x^2+6x+5=0$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2} =\frac{-6\pm\sqrt{16}}{2} =\frac{-6\pm 4}{2}.$$
$$x_1=-5, \quad x_2=-1.$$
д) $$(2x+3)^2-x(2x-3)=x(1-x)+1$$
$$4x^2+12x+9-2x^2+3x=x-x^2+1 \\ 2x^2+15x+9-x+x^2-1=0 \\ 3x^2+14x+8=0$$
$$x=\frac{-14\pm\sqrt{14^2-4\cdot 3\cdot 8}}{2\cdot 3} =\frac{-14\pm\sqrt{100}}{6} =\frac{-14\pm 10}{6}.$$
$$x_1=-4, \quad x_2=-\frac{2}{3}.$$
е) $$(3x-2)(3x+2)-2x(4x+5)+9=2(x+15)$$
$$9x^2-4-8x^2-10x+9=2x+30 \\ x^2-10x+5=2x+30 \\ x^2-12x-25=0$$
$$x=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 1\cdot (-25)}}{2} =\frac{12\pm\sqrt{244}}{2} =6\pm\sqrt{61}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}=4$$; б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=-1$$; в) $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\max}=2,$$ $$y_{\min}$$ не существует; д) наибольшего и наименьшего значений нет; е) наибольшего и наименьшего значений нет.
а) $$x=-4\pm\sqrt{13}$$; б) $$x=-\frac{2}{5},\ 2$$; в) $$x=\frac{3}{5},\ 3$$; г) $$x=-5,\ -1$$; д) $$x=-4,\ -\frac{2}{3}$$; е) $$x=6\pm\sqrt{61}$$.
