Упр.34.10 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ прямая: а) $$y=-\frac{1}{4}x-1$$ расположена ниже гиперболы $$y=-\frac{8}{x}$$; б) $$y=-2x$$ расположена выше гиперболы $$y=-\frac{8}{x}$$?
2. Зная, что $$\frac{m+3m}{n}=-2$$, найдите: а) $$\frac{m+5n}{n}$$; в) $$\frac{3m+4n}{n}$$; б) $$\frac{3m-4n}{m}$$; г) $$\frac{m+2n}{m}$$.

а) Сравним значения функций:

$$-\frac14x-1<-\frac8x.$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$4x$$, учитывая знак этого выражения на промежутках:

$$-\frac14x-1<-\frac8x \;\Longleftrightarrow\; x^2+4x-32>0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2+4x-32=(x+8)(x-4).$$

Тогда

$$(x+8)(x-4)>0,$$

откуда

$$x<-8 \text{ или } x>4.$$

Но при переходе к исходному неравенству нужно исключить $$x=0$$, а точки $$x=-8$$ и $$x=4$$ дают равенство. Значит, прямая расположена ниже гиперболы при

$$-8<x<0 \text{ и } x>4.$$

б) Сравним:

$$-2x>-\frac8x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$-2x+\frac8x>0.$$

Умножим на $$x$$, учитывая знак:

$$-2x^2+8>0,$$

или

$$x^2-4<0.$$

Тогда

$$-2<x<2,$$

и с учётом того, что $$x\neq 0$$, получаем

$$x<-2 \text{ или } 0<x<2.$$

Из условия $$\dfrac{m+3n}{n}=-2$$ находим:

$$\frac{m}{n}+3=-2,$$

$$\frac{m}{n}=-5.$$

Тогда

$$\frac{n}{m}=-\frac15.$$

Теперь вычислим:

$$\frac{m+5n}{n}=\frac{m}{n}+5=-5+5=0,$$

$$\frac{3m-4n}{m}=3-\frac{4n}{m}=3-4\cdot\left(-\frac15\right)=3+\frac45=\frac{19}{5},$$

$$\frac{3m+4n}{n}=3\frac{m}{n}+4=3\cdot(-5)+4=-11,$$

$$\frac{m+2n}{m}=1+\frac{2n}{m}=1+2\cdot\left(-\frac15\right)=1-\frac25=\frac35.$$

Ответ

а) $$-8<x<0$$ и $$x>4$$; б) $$x<-2$$ и $$0<x<2$$; $$\frac{m+5n}{n}=0,$$ $$\frac{3m-4n}{m}=\frac{19}{5},$$ $$\frac{3m+4n}{n}=-11,$$ $$\frac{m+2n}{m}=\frac35.$$